以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击人木板内 1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。

考查要点：本题主要考查变力做功与动能定理的应用，以及如何处理非恒定阻力问题。

解题核心思路：

1. 阻力与深度成正比，即 $f = kx$，需通过积分计算变力做功。
2. 铁锤两次击打速度相同，说明每次击打提供的动能相等。
3. 动能转化为克服阻力的功，通过能量守恒建立方程。
4. 分阶段分析：第一次击入 $1\ \text{cm}$，第二次从 $1\ \text{cm}$ 继续深入，总深度需满足两次做功相等。

破题关键点：

• 正确写出变力做功的表达式，即 $\displaystyle W = \int_{x_1}^{x_2} kx\, dx$。
• 区分总深度与第二次新增深度，最终结果需用总深度减去第一次深度。

第一次击打分析

铁锤第一次击打时，钉子从 $x=0$ 移动到 $x=1\ \text{cm}$。
根据动能定理，铁锤提供的动能 $E$ 全部转化为克服阻力的功：
$E = \int_{0}^{1} kx\, dx = \frac{1}{2}k(1)^2 = \frac{k}{2}.$

第二次击打分析

第二次击打时，钉子从 $x=1\ \text{cm}$ 移动到 $x=h$（总深度）。
此时铁锤再次提供相同动能 $E$，需满足：
$E = \int_{1}^{h} kx\, dx = \frac{1}{2}k(h^2 - 1^2).$

建立方程求解

两次击打提供的能量相等，即 $\frac{k}{2} = \frac{1}{2}k(h^2 - 1)$，化简得：
$h^2 - 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad h = \sqrt{2}.$
因此，第二次击入的深度为：
$h - 1 = \sqrt{2} - 1\ \text{cm}.$