题目
以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击人木板内 1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。
以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击人木板内 1 cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度相同。
题目解答
答案
由题，铁锤两次击打铁钉时的速度相同，即动能相同。
由此，钉子钉入木板所需要的能量为
第一次钉后，钉子消耗能量为：
第二次钉后，钉子消耗能量为：
所以
因为
是钉两次后达到的深度
所以第二次的深度为
解析
步骤 1：确定阻力与深度的关系
木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，即阻力 $F = kx$，其中 $k$ 是比例常数，$x$ 是铁钉进入木板的深度。
步骤 2：计算第一次打击的能量
铁锤第一次打击时，铁钉进入木板的深度为 $1\text{ cm}$，即 $x_1 = 1\text{ cm}$。根据阻力与深度的关系，铁钉进入木板时所受的平均阻力为 $\frac{1}{2}kx_1$。因此，铁锤第一次打击时所做的功（即铁钉获得的能量）为 $W_1 = \frac{1}{2}kx_1^2$。
步骤 3：计算第二次打击的能量
铁锤第二次打击时，铁钉进入木板的深度为 $x_2$。根据阻力与深度的关系，铁钉进入木板时所受的平均阻力为 $\frac{1}{2}kx_2$。因此，铁锤第二次打击时所做的功（即铁钉获得的能量）为 $W_2 = \frac{1}{2}kx_2^2$。
步骤 4：确定两次打击的能量关系
由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，因此铁锤两次打击时所做的功相同，即 $W_1 = W_2$。因此，有 $\frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}kx_2^2$，即 $x_1^2 = x_2^2$。由于 $x_1 = 1\text{ cm}$，因此 $x_2 = \sqrt{2}\text{ cm}$。
步骤 5：计算第二次打击时铁钉进入木板的深度
由于铁锤第一次打击时铁钉进入木板的深度为 $1\text{ cm}$，因此铁锤第二次打击时铁钉进入木板的深度为 $x_2 - x_1 = \sqrt{2} - 1\text{ cm}$。
木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，即阻力 $F = kx$，其中 $k$ 是比例常数，$x$ 是铁钉进入木板的深度。
步骤 2：计算第一次打击的能量
铁锤第一次打击时，铁钉进入木板的深度为 $1\text{ cm}$，即 $x_1 = 1\text{ cm}$。根据阻力与深度的关系，铁钉进入木板时所受的平均阻力为 $\frac{1}{2}kx_1$。因此，铁锤第一次打击时所做的功（即铁钉获得的能量）为 $W_1 = \frac{1}{2}kx_1^2$。
步骤 3：计算第二次打击的能量
铁锤第二次打击时，铁钉进入木板的深度为 $x_2$。根据阻力与深度的关系，铁钉进入木板时所受的平均阻力为 $\frac{1}{2}kx_2$。因此，铁锤第二次打击时所做的功（即铁钉获得的能量）为 $W_2 = \frac{1}{2}kx_2^2$。
步骤 4：确定两次打击的能量关系
由于铁锤两次打击铁钉时的速度相同，因此铁锤两次打击时所做的功相同，即 $W_1 = W_2$。因此，有 $\frac{1}{2}kx_1^2 = \frac{1}{2}kx_2^2$，即 $x_1^2 = x_2^2$。由于 $x_1 = 1\text{ cm}$，因此 $x_2 = \sqrt{2}\text{ cm}$。
步骤 5：计算第二次打击时铁钉进入木板的深度
由于铁锤第一次打击时铁钉进入木板的深度为 $1\text{ cm}$，因此铁锤第二次打击时铁钉进入木板的深度为 $x_2 - x_1 = \sqrt{2} - 1\text{ cm}$。