一、今年考题P30(2026，1，2)单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵称为置换矩阵.设A为n阶置换矩阵，A^*为A的伴随矩阵，则A.A^*为置换矩阵. B.A^-1为置换矩阵. C.A^-1=A^*. D.A^-1=-A^*.

题目分析

首先，我们需要理解题目中“置换矩阵”的定义：单位矩阵经过若干次互换两行得到的矩阵。

我们知道，单位矩阵 $E$ 是一个置换矩阵（经过 0 次互换）。每互换一次两行，就相当于左乘一个初等排列矩阵（交换两行的初等矩阵）。这类矩阵有一个重要性质：它们是正交矩阵，且行列式的值为 $1$ 或 $-1$（取决于互换次数的奇偶性，偶数次为 $1$，奇数次为 $-1$）。

设 $A$ 为 $n$ 阶置换矩阵，则 $A$ 的每一行和每一列都恰好有一个元素为 $1$，其余元素为 $0$。同时，置换矩阵的逆矩阵等于其转置矩阵，即：
$A^{-1} = A^T$

因为 $A^T$ 同样满足每行每列恰好有一个 $1$ 的性质，所以 $A^T$ 也是一个置换矩阵。

逐项分析

1. 分析选项 B：$A^{-1}$ 为置换矩阵

由上述分析可知，$A^{-1} = A^T$。由于 $A$ 是置换矩阵（由单位矩阵互换行得到），它的转置 $A^T$ 实际上是由单位矩阵互换列得到的。而互换列的效果可以通过互换行来实现（因为置换矩阵构成的群中，转置也是置换矩阵），所以 $A^T$ 依然是一个置换矩阵。
因此，$A^{-1}$ 必定为置换矩阵。选项 B 是正确的。

2. 分析伴随矩阵 $A^*$ 的性质

根据伴随矩阵的定义，我们有公式：
$A^* = |A| A^{-1}$
其中 $|A|$ 是 $A$ 的行列式。因为 $A$ 是置换矩阵，所以 $|A| = \pm 1$。

• 如果 $|A| = 1$（偶数次互换），则 $A^* = A^{-1}$。此时 $A^*$ 是置换矩阵。
• 如果 $|A| = -1$（奇数次互换），则 $A^* = -A^{-1}$。此时 $A^*$ 的矩阵元素为 $0$ 和 $-1$（每行每列恰好一个 $-1$）。

置换矩阵的定义要求元素为 $0$ 和 $1$（由单位矩阵互换行得到，单位矩阵元素只有 $0, 1$）。所以当 $|A| = -1$ 时，$A^*$ 含有 $-1$，它不是置换矩阵。
因此，选项 A（$A^*$ 为置换矩阵）不一定成立。

3. 分析选项 C 和 D

• 选项 C：$A^{-1} = A^*$。
  由 $A^* = |A| A^{-1}$ 可知，只有当 $|A| = 1$ 时，$A^{-1} = A^*$ 才成立。如果 $|A| = -1$，则 $A^* = -A^{-1}$，此时 $A^{-1} \neq A^*$。所以 C 不一定成立。

• 选项 D：$A^{-1} = -A^*$。
  同理，只有当 $|A| = -1$ 时，$A^* = -A^{-1} \Rightarrow A^{-1} = -A^*$ 才成立。如果 $|A| = 1$，则不成立。所以 D 不一定成立。

结论

综上所述，无论置换矩阵 $A$ 的行列式是 $1$ 还是 $-1$，其逆矩阵 $A^{-1}$ 始终为置换矩阵。

正确答案是：B. $A^{-1}$ 为置换矩阵。