函数f(x)=|x|在x=0处( )A. 不连续也不可导B. 不连续但可导C. 连续但不可导D. 连续且可导

考查要点：本题主要考查函数在某一点的连续性和可导性的判断，特别是绝对值函数在拐点处的性质。

解题核心思路：

1. 连续性：验证函数在$x=0$处的左极限、右极限是否等于函数值$f(0)$。
2. 可导性：通过导数定义，计算左导数和右导数是否相等，若存在则可导，否则不可导。

破题关键点：

• 绝对值函数的特性：$f(x)=|x|$在$x=0$处图像形成“尖点”，直观上可能不可导。
• 导数定义的应用：分别计算左右导数，若不相等则导数不存在。

连续性分析

1. 左极限：当$x$从左侧趋近于$0$时，$f(x)=|x|=-x$，因此$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 0$。

2. 右极限：当$x$从右侧趋近于$0$时，$f(x)=|x|=x$，因此$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0$。

3. 函数值：$f(0)=|0|=0$。

   结论：左极限、右极限和函数值均相等，故$f(x)$在$x=0$处连续。

可导性分析

根据导数定义：
$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$

1. 右导数：当$h \to 0^+$时，$|h|=h$，因此：
   $\lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$

2. 左导数：当$h \to 0^-$时，$|h|=-h$，因此：
   $\lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

   结论：左右导数不相等，故$f(x)$在$x=0$处不可导。