2.1 两个质点做弹性碰撞,它们的质量分别是m1和m2,初速度分别是u1和au1.如果初始-|||-两个质点动能相同,碰撞后第一个质点静止,求a.

考查要点：本题主要考查弹性碰撞中的动量守恒与动能守恒，以及如何结合题目条件建立方程求解参数。

解题核心思路：

1. 利用动能相等条件，建立质量关系式；
2. 应用动量守恒和动能守恒，联立方程求解碰撞后的速度；
3. 结合碰撞后第一个质点静止的条件，最终解出参数$a$。

破题关键点：

• 动能相等给出$m_1 = m_2 a^2$；
• 动量守恒和动能守恒联立后，通过代数变形消去质量比，得到关于$a$的二次方程。

步骤1：利用初始动能相等

根据题意，初始动能相等：
$\frac{1}{2} m_1 u_1^2 = \frac{1}{2} m_2 (\alpha u_1)^2$
化简得：
$m_1 = m_2 \alpha^2 \quad \Rightarrow \quad m_2 = \frac{m_1}{\alpha^2}$

步骤2：应用动量守恒

碰撞前总动量为：
$p_{\text{初}} = m_1 u_1 + m_2 (\alpha u_1)$
碰撞后第一个质点静止，第二个质点速度为$v_2'$，总动量为：
$p_{\text{末}} = m_2 v_2'$
由动量守恒：
$m_1 u_1 + m_2 \alpha u_1 = m_2 v_2'$
代入$m_2 = \frac{m_1}{\alpha^2}$，解得：
$v_2' = u_1 \left( \frac{1}{\alpha} + \alpha \right)$

步骤3：应用动能守恒

碰撞前总动能为：
$K_{\text{初}} = \frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 (\alpha u_1)^2$
碰撞后动能为：
$K_{\text{末}} = \frac{1}{2} m_2 v_2'^2$
由动能守恒：
$\frac{1}{2} m_1 u_1^2 + \frac{1}{2} m_2 \alpha^2 u_1^2 = \frac{1}{2} m_2 v_2'^2$
代入$v_2'$并化简，最终得到方程：
$\alpha^2 + 2\alpha - 1 = 0$
解得：
$\alpha = -1 \pm \sqrt{2}$