求下列各微分方程的通解:-|||-(7) (y)^11+2(y)^12=0;-|||-(8) ^3(y)^11-1=0;

步骤 1：方程 (7) 的变量替换
令 $y'=p$，则 $y''=p'=\dfrac{dp}{dy}\cdot\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dp}{dy}p$，且原方程化为 $yp\dfrac{dp}{dy}+2p^2=0$。
步骤 2：方程 (7) 的分离变量
分离变量，得 $\dfrac{dp}{p}=-2\dfrac{dy}{y}$，积分得 $\ln|p|=\ln\dfrac{1}{y^2}+\ln C_0$，即 $y'=p=\dfrac{C_0}{y^2}$。
步骤 3：方程 (7) 的积分
分离变量，得 $y^2dy=C_0dx$，积分得 $y^3=3C_0x+C_2$，即通解为 $y^3=C_1x+C_2$。
步骤 4：方程 (8) 的变量替换
令 $y'=p$，则 $y''=p\dfrac{dp}{dy}$，且原方程化为 $y^3p\dfrac{dp}{dy}-1=0$。
步骤 5：方程 (8) 的分离变量
分离变量，得 $pdp=\dfrac{1}{y^3}dy$，积分得 $p^2=-\dfrac{1}{y^2}+C_1$，故 $y'=p=\pm\sqrt{C_1-\dfrac{1}{y^2}}=\pm\dfrac{1}{|y|}\sqrt{C_2y^2-1}$。
步骤 6：方程 (8) 的积分
分离变量，得 $\dfrac{|y|dy}{\sqrt{C_1y^2-1}}=\pm dx$。由于 $|y|=y\text{sgn}(y)$，故上式两端积分，$\text{sgn}(y)\int\dfrac{ydy}{\sqrt{C_1y^2-1}}=\pm\int dx$，$\text{sgn}(y)\sqrt{C_1y^2-1}=\pm C_1x+C_2$。两边平方，得 $C_1y^2-1=(C_1x+C_2)^2$。