题目

练习1 (2026,(1)/(2),3)^* 已知A=GH，其中G=}1&10&-1-1&0-1&-2=____.

练习1 $(2026,\frac{1}{2},3)^{*}$ 已知$A=GH$，其中$G=\begin{bmatrix}1&1\\0&-1\\-1&0\\-1&-2\end{bmatrix}$,$H=\begin{bmatrix}1&0&-1&1\\0&1&1&-1\end{bmatrix}$,则$A^{10}=$____.

题目解答

答案

根据题目给出的信息，我们需要计算矩阵 $A$ 的 $10$ 次方，即 $A^{10}$。
已知 $A = GH$，其中：
$G = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}, \quad H = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$

推理过程如下：

第一步：分析矩阵维度并寻找简便算法
矩阵 $G$ 是一个 $4 \times 2$ 的矩阵，矩阵 $H$ 是一个 $2 \times 4$ 的矩阵。
因此，矩阵 $A = GH$ 将是一个 $4 \times 4$ 的矩阵。
我们要计算 $A^{10} = (GH)^{10}$。
展开得到：$A^{10} = (GH)(GH)(GH)\cdots(GH)$ （共 $10$ 个 $GH$ 相乘）。
根据矩阵乘法的结合律，我们可以将中间的 $HG$ 结合在一起计算：
$A^{10} = G(HG)(HG)\cdots(HG)H$
其中中间共有 $9$ 个 $HG$。
即 $A^{10} = G(HG)^9 H$。

第二步：计算矩阵 $HG$
$H$ 是 $2 \times 4$ 矩阵，$G$ 是 $4 \times 2$ 矩阵，所以 $HG$ 是一个 $2 \times 2$ 的矩阵。
$HG = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}$
计算 $HG$ 的各个元素：

  • 第 $1$ 行第 $1$ 列：$(1)(1) + (0)(0) + (-1)(-1) + (1)(-1) = 1 + 0 + 1 - 1 = 1$
  • 第 $1$ 行第 $2$ 列：$(1)(1) + (0)(-1) + (-1)(0) + (1)(-2) = 1 + 0 + 0 - 2 = -1$
  • 第 $2$ 行第 $1$ 列：$(0)(1) + (1)(0) + (1)(-1) + (-1)(-1) = 0 + 0 - 1 + 1 = 0$
  • 第 $2$ 行第 $2$ 列：$(0)(1) + (1)(-1) + (1)(0) + (-1)(-2) = 0 - 1 + 0 + 2 = 1$
    所以，$HG = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。

第三步：计算 $(HG)^9$
令 $B = HG = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。我们需要计算 $B^9$。
观察 $B$ 的幂次规律：
$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$B^3 = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
由此归纳可得，对于任意正整数 $n$，$B^n = \begin{bmatrix} 1 & -n \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。
因此，$(HG)^9 = B^9 = \begin{bmatrix} 1 & -9 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$。

第四步：计算 $A^{10} = G(HG)^9 H$
首先计算 $G(HG)^9$：
$G(HG)^9 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & -1 \\ -1 & 0 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -9 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1(1)+1(0) & 1(-9)+1(1) \\ 0(1)+(-1)(0) & 0(-9)+(-1)(1) \\ -1(1)+0(0) & -1(-9)+0(1) \\ -1(1)+(-2)(0) & -1(-9)+(-2)(1) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 0 & -1 \\ -1 & 9 \\ -1 & 7 \end{bmatrix}$

接着计算 $(G(HG)^9)H$：
$A^{10} = \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 0 & -1 \\ -1 & 9 \\ -1 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1(1)+(-8)(0) & 1(0)+(-8)(1) & 1(-1)+(-8)(1) & 1(1)+(-8)(-1) \\ 0(1)+(-1)(0) & 0(0)+(-1)(1) & 0(-1)+(-1)(1) & 0(1)+(-1)(-1) \\ -1(1)+9(0) & -1(0)+9(1) & -1(-1)+9(1) & -1(1)+9(-1) \\ -1(1)+7(0) & -1(0)+7(1) & -1(-1)+7(1) & -1(1)+7(-1) \end{bmatrix}$
$= \begin{bmatrix} 1 & -8 & -9 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 9 & 10 & -10 \\ -1 & 7 & 8 & -8 \end{bmatrix}$

最终答案：
$A^{10} = \begin{bmatrix} 1 & -8 & -9 & 9 \\ 0 & -1 & -1 & 1 \\ -1 & 9 & 10 & -10 \\ -1 & 7 & 8 & -8 \end{bmatrix}$