题目
例4 已知A是 times 4 矩阵,n1,n2是 Ax=0 的基础解系,则 ^Ty=0 的基础解系-|||-(A)不存在. (B)有一个非零解.-|||-(C)有2个线性无关的解. (D)有3个线性无关的解.
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 Ax=0 的基础解系
已知A是 $5\times 4$ 矩阵，n1, n2是 Ax=0 的基础解系，说明 Ax=0 的基础解系由2个线性无关的解构成。根据齐次方程组的基础解系的定义，Ax=0 的基础解系由 n-r(A) 个线性无关的解构成，其中 n 是未知数的个数，r(A) 是矩阵A的秩。因此，有 $4-r(A)=2$，从而得到 $r(A)=2$。
步骤 2：确定 ${A}^{T}y=0$ 的基础解系
由于A是 $5\times 4$ 矩阵，那么 ${A}^{T}$ 是 $4\times 5$ 矩阵。根据矩阵的秩的性质，有 $r({A}^{T})=r(A)=2$。因此，${A}^{T}y=0$ 的基础解系由 $5-r({A}^{T})=5-2=3$ 个线性无关的解构成。
已知A是 $5\times 4$ 矩阵，n1, n2是 Ax=0 的基础解系，说明 Ax=0 的基础解系由2个线性无关的解构成。根据齐次方程组的基础解系的定义，Ax=0 的基础解系由 n-r(A) 个线性无关的解构成，其中 n 是未知数的个数，r(A) 是矩阵A的秩。因此，有 $4-r(A)=2$，从而得到 $r(A)=2$。
步骤 2：确定 ${A}^{T}y=0$ 的基础解系
由于A是 $5\times 4$ 矩阵，那么 ${A}^{T}$ 是 $4\times 5$ 矩阵。根据矩阵的秩的性质，有 $r({A}^{T})=r(A)=2$。因此，${A}^{T}y=0$ 的基础解系由 $5-r({A}^{T})=5-2=3$ 个线性无关的解构成。