设A、B为n的阶方阵，X=(x_(1),x_(2),...,x_(n))^T，并且X^TAX=X^TBX则A=B的充分必要条件是: A | R(A.)=R(B) B. | A是对称矩阵 C. | B是对称矩阵 D. | A和B是对称矩阵

为了确定 $ A = B $ 的充分必要条件，我们从给定的条件 $ X^TAX = X^TBX $ 开始分析。 ### 步骤1: 理解给定条件 给定 $ X = (x_1, x_2, \cdots, x_n)^T $ 是一个 $ n $-维列向量，且 $ X^TAX = X^TBX $ 对所有 $ X $ 成立。这意味着对于任意的 $ n $-维向量 $ X $，二次型 $ X^TAX $ 和 $ X^TBX $ 相等。 ### 步骤2: 二次型的性质 二次型 $ X^TAX $ 可以写成： \[ X^TAX = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j \] 同样，二次型 $ X^TBX $ 可以写成： \[ X^TBX = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij} x_i x_j \] 由于 $ X^TAX = X^TBX $ 对所有 $ X $ 成立，因此： \[ \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n b_{ij} x_i x_j \] 这表明 $ a_{ij} = b_{ij} $ 对所有 $ i $ 和 $ j $ 成立，即 $ A = B $。 ### 步骤3: 考虑对称性 然而，如果 $ A $ 和 $ B $ 不是对称矩阵，那么 $ A $ 和 $ B $ 的非对称部分不会影响二次型的值。因此，为了确保 $ A = B $，必须要求 $ A $ 和 $ B $ 都是对称矩阵。 ### 步骤4: 验证充分必要条件 - **充分性**：如果 $ A $ 和 $ B $ 都是对称矩阵，且 $ X^TAX = X^TBX $ 对所有 $ X $ 成立，那么 $ A = B $。 - **必要性**：如果 $ A = B $，那么 $ X^TAX = X^TBX $ 对所有 $ X $ 成立，且 $ A $ 和 $ B $ 必须都是对称矩阵。 ### 结论 因此， $ A = B $ 的充分必要条件是 $ A $ 和 $ B $ 都是对称矩阵。 答案是 $\boxed{D}$。