题目
曲面 =sqrt (2-{x)^2-(y)^2} 及 =sqrt ({x)^2+(y)^2}所围成的质量分布均匀 ( 设密度为=sqrt (2-{x)^2-(y)^2} 及 =sqrt ({x)^2+(y)^2} ) 的物体关于 Oz 轴 的转动惯量=sqrt (2-{x)^2-(y)^2} 及 =sqrt ({x)^2+(y)^2} 等于 A. =sqrt (2-{x)^2-(y)^2} 及 =sqrt ({x)^2+(y)^2}B. =sqrt (2-{x)^2-(y)^2} 及 =sqrt ({x)^2+(y)^2}C. =sqrt (2-{x)^2-(y)^2} 及 =sqrt ({x)^2+(y)^2}D. =sqrt (2-{x)^2-(y)^2} 及 =sqrt ({x)^2+(y)^2}
曲面 
所围成的质量分布均匀 ( 设密度为
) 的物体关于 Oz 轴 的转动惯量
等于
A. 
B. 
C. 
D. 
题目解答
答案
∵曲面
∴
解得
在xoy面上的投影为
∴
令
，则上式
综上所述，正确答案为A
解析
步骤 1：确定曲面交线
曲面 $z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 和 $z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 的交线可以通过解方程组 $\left \{ \begin{matrix} z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}\\ z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}\end{matrix} \right.$ 得到。将两个方程相等，得到 $\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$，从而有 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$。因此，交线在 $xoy$ 平面上的投影是一个半径为1的圆。
步骤 2：计算转动惯量
物体关于 $Oz$ 轴的转动惯量 $I_z$ 可以通过积分计算得到。对于质量分布均匀的物体，转动惯量 $I_z$ 可以表示为 $I_z=\mu J$，其中 $\mu$ 是物体的密度，$J$ 是转动惯量的几何部分。对于给定的物体，$J$ 可以表示为 $J=\int (x^2+y^2) dV$，其中 $dV$ 是体积微元。在柱坐标系下，$dV=rdrd\theta dz$，因此 $J=\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{\sqrt{r^2}}^{\sqrt{2-r^2}} r^3 dz dr d\theta$。
步骤 3：计算积分
将积分式 $J=\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{\sqrt{r^2}}^{\sqrt{2-r^2}} r^3 dz dr d\theta$ 分别对 $z$、$r$ 和 $\theta$ 进行积分。首先对 $z$ 积分，得到 $\int_{\sqrt{r^2}}^{\sqrt{2-r^2}} r^3 dz = r^3 (\sqrt{2-r^2} - r)$。然后对 $r$ 积分，得到 $\int_0^1 r^3 (\sqrt{2-r^2} - r) dr = \frac{4}{15} (4\sqrt{2}-5)$。最后对 $\theta$ 积分，得到 $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。因此，$J=\frac{4}{15} (4\sqrt{2}-5) \cdot 2\pi$。
步骤 4：计算最终答案
将 $J$ 的结果代入 $I_z=\mu J$，得到 $I_z=\mu \cdot \frac{4}{15} (4\sqrt{2}-5) \cdot 2\pi = \frac{4}{15} \pi \mu (4\sqrt{2}-5)$。
曲面 $z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}$ 和 $z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$ 的交线可以通过解方程组 $\left \{ \begin{matrix} z=\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}\\ z=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}\end{matrix} \right.$ 得到。将两个方程相等，得到 $\sqrt {2-{x}^{2}-{y}^{2}}=\sqrt {{x}^{2}+{y}^{2}}$，从而有 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$。因此，交线在 $xoy$ 平面上的投影是一个半径为1的圆。
步骤 2：计算转动惯量
物体关于 $Oz$ 轴的转动惯量 $I_z$ 可以通过积分计算得到。对于质量分布均匀的物体，转动惯量 $I_z$ 可以表示为 $I_z=\mu J$，其中 $\mu$ 是物体的密度，$J$ 是转动惯量的几何部分。对于给定的物体，$J$ 可以表示为 $J=\int (x^2+y^2) dV$，其中 $dV$ 是体积微元。在柱坐标系下，$dV=rdrd\theta dz$，因此 $J=\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{\sqrt{r^2}}^{\sqrt{2-r^2}} r^3 dz dr d\theta$。
步骤 3：计算积分
将积分式 $J=\int_0^{2\pi} \int_0^1 \int_{\sqrt{r^2}}^{\sqrt{2-r^2}} r^3 dz dr d\theta$ 分别对 $z$、$r$ 和 $\theta$ 进行积分。首先对 $z$ 积分，得到 $\int_{\sqrt{r^2}}^{\sqrt{2-r^2}} r^3 dz = r^3 (\sqrt{2-r^2} - r)$。然后对 $r$ 积分，得到 $\int_0^1 r^3 (\sqrt{2-r^2} - r) dr = \frac{4}{15} (4\sqrt{2}-5)$。最后对 $\theta$ 积分，得到 $\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$。因此，$J=\frac{4}{15} (4\sqrt{2}-5) \cdot 2\pi$。
步骤 4：计算最终答案
将 $J$ 的结果代入 $I_z=\mu J$，得到 $I_z=\mu \cdot \frac{4}{15} (4\sqrt{2}-5) \cdot 2\pi = \frac{4}{15} \pi \mu (4\sqrt{2}-5)$。