题目
33. (2.0分) 若同阶方阵A与B均为可逆矩阵，则AB也可逆且(AB)^-1=A^-1B^-1. ( )A. 对B. 错
33. (2.0分) 若同阶方阵A与B均为可逆矩阵，则AB也可逆且$(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}.$ ( )
A. 对
B. 错
题目解答
答案
B. 错
解析
步骤 1：可逆矩阵的定义
可逆矩阵是指存在一个矩阵，使得该矩阵与其乘积为单位矩阵。即，如果矩阵 $A$ 可逆，则存在矩阵 $A^{-1}$，使得 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。
步骤 2：矩阵乘法的性质
矩阵乘法不满足交换律，即 $AB \neq BA$，除非 $A$ 和 $B$ 是对称矩阵或满足特殊条件。
步骤 3：逆矩阵的性质
如果 $A$ 和 $B$ 均为可逆矩阵，则 $AB$ 也是可逆矩阵。逆矩阵的性质表明 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，而不是 $A^{-1}B^{-1}$。这是因为 $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$，满足逆矩阵的定义。
可逆矩阵是指存在一个矩阵，使得该矩阵与其乘积为单位矩阵。即，如果矩阵 $A$ 可逆，则存在矩阵 $A^{-1}$，使得 $AA^{-1} = A^{-1}A = I$，其中 $I$ 是单位矩阵。
步骤 2：矩阵乘法的性质
矩阵乘法不满足交换律，即 $AB \neq BA$，除非 $A$ 和 $B$ 是对称矩阵或满足特殊条件。
步骤 3：逆矩阵的性质
如果 $A$ 和 $B$ 均为可逆矩阵，则 $AB$ 也是可逆矩阵。逆矩阵的性质表明 $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$，而不是 $A^{-1}B^{-1}$。这是因为 $(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I$，满足逆矩阵的定义。