8【填空题】设int_(0)^ax(2-3x)dx=2，则常数a=（）(A) 1 (B) -1 (C) 0 (D) 2
题目解答
答案
为了求解常数 $a$，使得 $\int_{0}^{a} x(2-3x) \, dx = 2$，我们首先需要计算定积分 $\int_{0}^{a} x(2-3x) \, dx$。
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展开被积函数：
$x(2-3x) = 2x - 3x^2$ -
计算不定积分：
$\int (2x - 3x^2) \, dx = \int 2x \, dx - \int 3x^2 \, dx$
分别计算两个积分：
$\int 2x \, dx = x^2 + C_1$
$\int 3x^2 \, dx = x^3 + C_2$
因此，不定积分为：
$\int (2x - 3x^2) \, dx = x^2 - x^3 + C$ -
计算定积分：
$\int_{0}^{a} (2x - 3x^2) \, dx = \left[ x^2 - x^3 \right]_{0}^{a}$
代入上下限：
$\left[ x^2 - x^3 \right]_{0}^{a} = \left( a^2 - a^3 \right) - \left( 0^2 - 0^3 \right) = a^2 - a^3$ -
设定积分等于2：
$a^2 - a^3 = 2$ -
解方程 $a^2 - a^3 = 2$:
重写方程：
$a^3 - a^2 + 2 = 0$
我们需要找到这个多项式的根。可以使用有理根定理来测试可能的有理根。有理根定理 suggests 有理根是 $\pm 1, \pm 2$。测试 $a = 1$:
$1^3 - 1^2 + 2 = 1 - 1 + 2 = 2 \quad (\text{不等于0})$测试 $a = -1$:
$(-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 \quad (\text{等于0})$测试 $a = 2$:
$2^3 - 2^2 + 2 = 8 - 4 + 2 = 6 \quad (\text{不等于0})$测试 $a = -2$:
$(-2)^3 - (-2)^2 + 2 = -8 - 4 + 2 = -10 \quad (\text{不等于0})$从测试中，我们发现 $a = -1$ 是方程 $a^3 - a^2 + 2 = 0$ 的根。
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验证 $a = -1$ 的解:
代入 $a = -1$ 检查:
$\int_{0}^{-1} x(2-3x) \, dx = \left[ x^2 - x^3 \right]_{0}^{-1} = \left( (-1)^2 - (-1)^3 \right) - \left( 0^2 - 0^3 \right) = 1 + 1 = 2$
因此，常数 $a$ 的值是 $-1$。
答案: $\boxed{B}$
解析
本题考查定积分的计算以及一元三次方程的求解。解题思路是先将被积函数展开，然后计算其不定积分，再根据牛顿 - 莱布尼茨公式计算定积分，最后通过解方程求出常数 $a$ 的值。
- 展开被积函数：
已知被积函数为 $x(2 - 3x)$，将其展开可得：
$x(2 - 3x)=2x - 3x^{2}$ - 计算不定积分：
根据不定积分的性质$\int(f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$，对$\int(2x - 3x^{2})dx$进行计算：
$\int(2x - 3x^{2})dx=\int 2xdx-\int 3x^{2}dx$
根据不定积分公式$\int x^{n}dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}+C(n\neq - 1)$，可得：
$\int 2xdx=2\times\frac{1}{2}x^{2}+C_1=x^{2}+C_1$
$\int 3x^{2}dx=3\times\frac{1}{3}x^{3}+C_2=x^{3}+C_2$
所以$\int(2x - 3x^{2})dx=x^{2}-x^{3}+C$ - 计算定积分：
根据牛顿 - 莱布尼茨公式$\int_{a}^{b}F^\prime(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数，对于$\int_{0}^{a}(2x - 3x^{2})dx$，$F(x)=x^{2}-x^{3}$，则：
$\int_{0}^{a}(2x - 3x^{2})dx=\left[x^{2}-x^{3}\right]_{0}^{a}=(a^{2}-a^{3})-(0^{2}-0^{3})=a^{2}-a^{3}$ - 解方程：
因为$\int_{0}^{a}x(2 - 3x)dx = 2$，所以$a^{2}-a^{3}=2$，移项可得$a^{3}-a^{2}+2 = 0$。
根据有理根定理，对于一元$n$次多项式$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n - 1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x + a_{0}$（$a_{n}\neq0$），其有理根$p/q$（$p,q$互质）中，$p$是$a_{0}$的因数，$q$是$a_{n}$的因数。
对于方程$a^{3}-a^{2}+2 = 0$，$a_{n}=1$，$a_{0}=2$，可能的有理根为$\pm1,\pm2$。- 当$a = 1$时，$1^{3}-1^{2}+2=1 - 1+2 = 2\neq0$。
- 当$a=-1$时，$(-1)^{3}-(-1)^{2}+2=-1 - 1+2 = 0$，所以$a = - 1$是方程的根。
- 当$a = 2$时，$2^{3}-2^{2}+2=8 - 4+2 = 6\neq0$。
- 当$a=-2$时，$(-2)^{3}-(-2)^{2}+2=-8 - 4+2=-10\neq0$。
- 验证解：
将$a=-1$代入$\int_{0}^{a}x(2 - 3x)dx$进行验证：
$\int_{0}^{-1}x(2 - 3x)dx=\left[x^{2}-x^{3}\right]_{0}^{-1}=((-1)^{2}-(-1)^{3})-(0^{2}-0^{3})=1 + 1=2$
所以$a=-1$是符合条件的解。