4.(单选题) 极限lim_((x,y)to(0,0))(1-sqrt(xy+1))/(xy)=____. A. 0 B. ∞ C. (1)/(2) D. -(1)/(2)

为了求解极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\sqrt{xy+1}}{xy}$，我们可以使用有理化的方法。具体步骤如下： 1. **有理化分子**：分子 $1 - \sqrt{xy + 1}$ 可以通过乘以它的共轭表达式 $1 + \sqrt{xy + 1}$ 来有理化。 \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\sqrt{xy+1}}{xy} = \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{(1-\sqrt{xy+1})(1+\sqrt{xy+1})}{xy(1+\sqrt{xy+1})} \] 2. **简化分子**：分子 $(1-\sqrt{xy+1})(1+\sqrt{xy+1})$ 是一个差的平方，可以简化为 $1 - (xy + 1) = -xy$。 \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-xy}{xy(1+\sqrt{xy+1})} \] 3. **消去公因子**：分子和分母中的 $xy$ 可以消去。 \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-1}{1+\sqrt{xy+1}} \] 4. **代入极限值**：当 $(x, y) \to (0, 0)$ 时， $xy \to 0$，所以 $\sqrt{xy + 1} \to \sqrt{0 + 1} = 1$。 \[ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{-1}{1+\sqrt{xy+1}} = \frac{-1}{1+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2} \] 因此，极限 $\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\sqrt{xy+1}}{xy}$ 的值是 $-\frac{1}{2}$。 答案是 $\boxed{D}$。