[题目]设函数 (x)=|(x)^3-1|varphi (x), 其中φ(x)在 x=1 处-|||-连续,则 varphi (1)=0 是f(x)在 x=1 处可导的 ()-|||-A.充分必要条件-|||-B.必要但非充分条件-|||-C.充分但非必要条件-|||-D.既非充分也非必要条件

考查要点：本题主要考查函数在某点可导的条件，涉及绝对值函数的导数计算及左右导数的分析。

解题核心思路：

1. 分左右导数：由于函数$f(x)$包含绝对值项$|x^3 -1|$，需分别计算$x=1$处的左导数和右导数。
2. 极限分析：通过展开$x^3 -1$在$x=1$附近的泰勒式，简化极限表达式。
3. 条件关系：通过左右导数相等的条件，推导$\varphi(1)$的取值要求，判断其是否为充分必要条件。

破题关键点：

• 绝对值函数的分段处理：当$x>1$时，$|x^3 -1|=x^3 -1$；当$x<1$时，$|x^3 -1|=1 -x^3$。
• 导数存在性条件：左右导数相等时，$\varphi(1)$必须满足特定关系，从而确定其条件类型。

步骤1：计算右导数

当$x > 1$时，$|x^3 -1| = x^3 -1$，因此：
$f(x) = (x^3 -1)\varphi(x)$
右导数为：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{( (1+h)^3 -1 )\varphi(1+h)}{h}$
展开$(1+h)^3 -1 \approx 3h$，得：
$f'_+(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{3h \cdot \varphi(1+h)}{h} = 3\varphi(1)$

步骤2：计算左导数

当$x < 1$时，$|x^3 -1| = 1 -x^3$，因此：
$f(x) = (1 -x^3)\varphi(x)$
左导数为：
$f'_-(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(1-h) - f(1)}{-h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{(1 - (1-h)^3)\varphi(1-h)}{-h}$
展开$(1-h)^3 \approx 1 -3h$，得：
$1 - (1-h)^3 \approx 3h \quad \Rightarrow \quad f'_-(1) = \lim_{h \to 0^+} \frac{3h \cdot \varphi(1-h)}{-h} = -3\varphi(1)$

步骤3：导数存在性条件

函数$f(x)$在$x=1$处可导的充要条件是左右导数相等：
$f'_+(1) = f'_-(1) \quad \Rightarrow \quad 3\varphi(1) = -3\varphi(1) \quad \Rightarrow \quad \varphi(1) = 0$
因此，$\varphi(1)=0$是充分且必要条件。