题目
[题目]设函数 (x)=|(x)^3-1|varphi (x), 其中φ(x)在 x=1 处-|||-连续,则 varphi (1)=0 是f(x)在 x=1 处可导的 ()-|||-A.充分必要条件-|||-B.必要但非充分条件-|||-C.充分但非必要条件-|||-D.既非充分也非必要条件
题目解答
答案
解析
步骤 1：分析函数在 x=1 处的导数
函数 $f(x)=|{x}^{3}-1|\varphi |x|$ 在 x=1 处的导数需要考虑左右导数是否相等。由于 $|x^3-1|$ 在 x=1 处的值为 0，因此我们需要考虑 $\varphi(x)$ 在 x=1 处的值。
步骤 2：计算左导数
当 $x<1$ 时，$|x^3-1|=1-x^3$，因此 $f(x)=(1-x^3)\varphi(x)$。左导数为：
$$
\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{(1-x^3)\varphi(x)}{x-1}=-3\varphi(1)
$$
步骤 3：计算右导数
当 $x>1$ 时，$|x^3-1|=x^3-1$，因此 $f(x)=(x^3-1)\varphi(x)$。右导数为：
$$
\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{(x^3-1)\varphi(x)}{x-1}=3\varphi(1)
$$
步骤 4：判断可导条件
为了使 $f(x)$ 在 x=1 处可导，左导数和右导数必须相等，即：
$$
-3\varphi(1)=3\varphi(1)
$$
这等价于 $\varphi(1)=0$。因此，$\varphi(1)=0$ 是 $f(x)$ 在 x=1 处可导的充分必要条件。
函数 $f(x)=|{x}^{3}-1|\varphi |x|$ 在 x=1 处的导数需要考虑左右导数是否相等。由于 $|x^3-1|$ 在 x=1 处的值为 0，因此我们需要考虑 $\varphi(x)$ 在 x=1 处的值。
步骤 2：计算左导数
当 $x<1$ 时，$|x^3-1|=1-x^3$，因此 $f(x)=(1-x^3)\varphi(x)$。左导数为：
$$
\lim_{x\to 1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{(1-x^3)\varphi(x)}{x-1}=-3\varphi(1)
$$
步骤 3：计算右导数
当 $x>1$ 时，$|x^3-1|=x^3-1$，因此 $f(x)=(x^3-1)\varphi(x)$。右导数为：
$$
\lim_{x\to 1^+}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{(x^3-1)\varphi(x)}{x-1}=3\varphi(1)
$$
步骤 4：判断可导条件
为了使 $f(x)$ 在 x=1 处可导，左导数和右导数必须相等，即：
$$
-3\varphi(1)=3\varphi(1)
$$
这等价于 $\varphi(1)=0$。因此，$\varphi(1)=0$ 是 $f(x)$ 在 x=1 处可导的充分必要条件。