题目

X1,X2独立同分布，且分布率为X1,X2，X1,X2，则下列选项正确的是（）A.X1,X2B.X1,X2C.X1,X2D.X1,X2

$X_1,X_2$ 独立同分布，且分布率为 $\begin{pmatrix} X_i&0&1 \newline P&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{pmatrix}$ ， $Z=\max\left\{X_1,X_2\right\}$ ，则下列选项正确的是（）

A. $P\left\{Z=1\right\}=0.25$

B. $P\left\{Z=0\right\}=0.25$

C. $P\left\{Z=1\right\}=0.5$

D. $P\left\{Z=0\right\}=0.75$

题目解答

答案

$X_1,X_2$ 相互独立，则 $P\left(X_1,X_2\right)=P\left(X_1\right)P\left(X_2\right)$ ，

Z的分布律为 $P\left(Z=0\right)=P\left(X_1=0,X_2=0\right)=P\left(X_1=0\right)P\left(X_2=0\right)$ $=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{1}{4}=0.25$ ， $P\left(Z=1\right)=P\left(X_1=0,X_2=1\right)+P\left(X_1=1,X_2=0\right)+P\left(X_1=1,X_2=1\right)$ $=P\left(X_1=0\right)P\left(X_2=1\right)+P\left(X_1=1\right)P\left(X_2=0\right)+P\left(X_1=1\right)P\left(X_2=1\right)$ $=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{3}{4}=0.75$ ，因此选择B。

解析

步骤 1：确定$Z=max\{ {X}_{1},{X}_{2}\}$的分布律
由于$X_1$和$X_2$独立同分布，且$Z=max\{ {X}_{1},{X}_{2}\}$，我们需要计算$Z$取不同值的概率。$Z$的可能取值为$0$和$1$，因为$X_1$和$X_2$的取值范围是$0$和$1$。

步骤 2：计算$P\{Z=0\}$
$Z=0$当且仅当$X_1=0$且$X_2=0$。因为$X_1$和$X_2$独立，所以$P\{Z=0\}=P\{X_1=0\}P\{X_2=0\}$。根据题目，$P\{X_1=0\}=P\{X_2=0\}=0.5$，所以$P\{Z=0\}=0.5\times0.5=0.25$。

步骤 3：计算$P\{Z=1\}$
$Z=1$当且仅当$X_1=1$或$X_2=1$。因为$X_1$和$X_2$独立，所以$P\{Z=1\}=1-P\{Z=0\}=1-0.25=0.75$。也可以通过计算$P\{X_1=1\}P\{X_2=0\}+P\{X_1=0\}P\{X_2=1\}+P\{X_1=1\}P\{X_2=1\}$来得到$P\{Z=1\}$，即$0.5\times0.5+0.5\times0.5+0.5\times0.5=0.75$。