7.求下列矩阵的特征值与特征向量:-|||-(1)A= (} -3& 2 -2& 2 ) . ;

步骤 1：计算矩阵A的特征多项式
为了找到矩阵A的特征值，我们需要计算矩阵A的特征多项式。特征多项式是通过计算矩阵A减去λE的行列式得到的，其中E是单位矩阵，λ是特征值。对于矩阵A，我们有：
$$
A = \left (\begin{matrix} -3& 2\\ -2& 2\end{matrix} \right)
$$
特征多项式为：
$$
|A - \lambda E| = \left |\begin{matrix} -3-\lambda & 2\\ -2 & 2-\lambda\end{matrix} \right|
$$
步骤 2：求解特征多项式
计算行列式，我们得到：
$$
|A - \lambda E| = (-3-\lambda)(2-\lambda) - (-2)(2) = \lambda^2 + \lambda - 2
$$
步骤 3：求解特征值
将特征多项式设置为0，求解λ：
$$
\lambda^2 + \lambda - 2 = 0
$$
解这个二次方程，我们得到：
$$
\lambda_1 = -2, \lambda_2 = 1
$$
步骤 4：求解特征向量
对于每个特征值，我们需要找到对应的特征向量。特征向量是满足$(A - \lambda E)v = 0$的非零向量v。
对于$\lambda_1 = -2$，我们有：
$$
(A + 2E)v = 0
$$
$$
\left (\begin{matrix} -1 & 2\\ -2 & 4\end{matrix} \right)v = 0
$$
解这个方程组，我们得到特征向量$v_1 = (2, 1)^T$。
对于$\lambda_2 = 1$，我们有：
$$
(A - E)v = 0
$$
$$
\left (\begin{matrix} -4 & 2\\ -2 & 1\end{matrix} \right)v = 0
$$
解这个方程组，我们得到特征向量$v_2 = (1, 2)^T$。