题目
(10)设随机变量X的概率密度为 (x)=(Ae)^-(x^2+x)(-infty lt xlt +infty ), 则常数 A= __ .
题目解答
答案
解析
步骤 1：利用概率密度函数的性质
概率密度函数 $f(x)$ 必须满足 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$。因此，我们有 $\int_{-\infty}^{+\infty} A{e}^{-{x}^{2}+x} dx = 1$。
步骤 2：完成积分
为了完成积分，我们首先将指数项 $-x^2 + x$ 完成平方，得到 $-(x^2 - x) = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$。因此，原积分可以写为 $A{e}^{\frac{1}{4}}\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-{(x-\frac{1}{2})}^2} dx$。
步骤 3：利用标准正态分布的积分结果
注意到 $\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-{(x-\frac{1}{2})}^2} dx$ 是标准正态分布的积分，其值为 $\sqrt{\pi}$。因此，我们有 $A{e}^{\frac{1}{4}}\sqrt{\pi} = 1$。
步骤 4：求解常数 A
从 $A{e}^{\frac{1}{4}}\sqrt{\pi} = 1$，我们解出 $A = \frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-\frac{1}{4}}$。
概率密度函数 $f(x)$ 必须满足 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = 1$。因此，我们有 $\int_{-\infty}^{+\infty} A{e}^{-{x}^{2}+x} dx = 1$。
步骤 2：完成积分
为了完成积分，我们首先将指数项 $-x^2 + x$ 完成平方，得到 $-(x^2 - x) = -(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4}$。因此，原积分可以写为 $A{e}^{\frac{1}{4}}\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-{(x-\frac{1}{2})}^2} dx$。
步骤 3：利用标准正态分布的积分结果
注意到 $\int_{-\infty}^{+\infty} {e}^{-{(x-\frac{1}{2})}^2} dx$ 是标准正态分布的积分，其值为 $\sqrt{\pi}$。因此，我们有 $A{e}^{\frac{1}{4}}\sqrt{\pi} = 1$。
步骤 4：求解常数 A
从 $A{e}^{\frac{1}{4}}\sqrt{\pi} = 1$，我们解出 $A = \frac{1}{\sqrt{\pi}}{e}^{-\frac{1}{4}}$。