题目
已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（-2sqrt(5)，0），离心率为sqrt(5)．（1）求C的方程；（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
已知双曲线C中心为坐标原点，左焦点为（-2$\sqrt{5}$，0），离心率为$\sqrt{5}$．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
（1）求C的方程；
（2）记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于P，证明P在定直线上．
题目解答
答案
解：（1）双曲线C中心为原点，左焦点为（-2$\sqrt{5}$，0），离心率为$\sqrt{5}$，
则$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\\{c=2\sqrt{5}}\\{e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）证明：过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x=my-4，M（x1，y1），N（x2，y2），
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1（-2，0），A2（2，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-4}\\{4{x}^{2}-{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，化简整理可得，（4m2-1）y2-32my+48=0，
故Δ=（-32m）2-4×48×（4m2-1）=256m2+192＞0且4m2-1≠0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{32m}{4{m}^{2}-1}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{48}{4{m}^{2}-1}$，
直线MA1的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，直线NA2方程y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}（x-2）$，
故$\frac{x+2}{x-2}$=$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}+2）}{{y}_{1}（{x}_{2}-2）}$=$\frac{{y}_{2}（m{y}_{1}-2）}{{y}_{1}（m{y}_{2}-6）}$
=$\frac{m{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+2{y}_{1}}{m{y}_{1}{y}_{2}-6{y}_{1}}$
=$\frac{m•\frac{48}{4{m}^{2}-1}-2•\frac{32m}{4{m}^{2}-1}+2{y}_{1}}{m•\frac{48}{4{m}^{2}-1}-6{y}_{1}}$
=$\frac{\frac{-16m}{4{m}^{2}-1}+2{y}_{1}}{\frac{48m}{4{m}^{2}-1}-6{y}_{1}}=-\frac{1}{3}$，
故$\frac{x+2}{x-2}=-\frac{1}{3}$，解得x=-1，
所以xP=-1，
故点P在定直线x=-1上运动．
则$\left\{\begin{array}{l}{{c}^{2}={a}^{2}+{b}^{2}}\\{c=2\sqrt{5}}\\{e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$，
故双曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{16}=1$；
（2）证明：过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，
则可设直线MN的方程为x=my-4，M（x1，y1），N（x2，y2），
记C的左，右顶点分别为A1，A2，
则A1（-2，0），A2（2，0），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=my-4}\\{4{x}^{2}-{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，化简整理可得，（4m2-1）y2-32my+48=0，
故Δ=（-32m）2-4×48×（4m2-1）=256m2+192＞0且4m2-1≠0，
${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{32m}{4{m}^{2}-1}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{48}{4{m}^{2}-1}$，
直线MA1的方程为$y=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}（x+2）$，直线NA2方程y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}（x-2）$，
故$\frac{x+2}{x-2}$=$\frac{{y}_{2}（{x}_{1}+2）}{{y}_{1}（{x}_{2}-2）}$=$\frac{{y}_{2}（m{y}_{1}-2）}{{y}_{1}（m{y}_{2}-6）}$
=$\frac{m{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+2{y}_{1}}{m{y}_{1}{y}_{2}-6{y}_{1}}$
=$\frac{m•\frac{48}{4{m}^{2}-1}-2•\frac{32m}{4{m}^{2}-1}+2{y}_{1}}{m•\frac{48}{4{m}^{2}-1}-6{y}_{1}}$
=$\frac{\frac{-16m}{4{m}^{2}-1}+2{y}_{1}}{\frac{48m}{4{m}^{2}-1}-6{y}_{1}}=-\frac{1}{3}$，
故$\frac{x+2}{x-2}=-\frac{1}{3}$，解得x=-1，
所以xP=-1，
故点P在定直线x=-1上运动．
解析
步骤 1：确定双曲线的参数
双曲线的中心为原点，左焦点为（-2$\sqrt{5}$，0），离心率为$\sqrt{5}$。根据双曲线的定义，离心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$是焦距的一半，$a$是实轴的一半。因此，我们有$c=2\sqrt{5}$，$e=\sqrt{5}$，从而可以求出$a$的值。
步骤 2：计算$a$的值
由$e=\frac{c}{a}$，代入$c=2\sqrt{5}$，$e=\sqrt{5}$，得到$a=2$。
步骤 3：计算$b$的值
根据双曲线的焦距公式$c^2=a^2+b^2$，代入$c=2\sqrt{5}$，$a=2$，得到$b^2=16$，从而$b=4$。
步骤 4：写出双曲线的方程
根据$a$和$b$的值，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$a=2$，$b=4$，得到$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$。
【答案】
双曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$。
（2）证明P在定直线上
【解析】
步骤 1：确定直线MN的方程
过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限。设直线MN的方程为$x=my-4$，其中$m$是斜率。
步骤 2：联立直线和双曲线方程
联立直线方程$x=my-4$和双曲线方程$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$，得到一个关于$y$的二次方程。
步骤 3：求解$y_1$和$y_2$
解二次方程得到$y_1$和$y_2$，即M和N的$y$坐标。
步骤 4：确定直线MA_1和NA_2的方程
根据M和N的坐标，以及A_1（-2，0）和A_2（2，0）的坐标，写出直线MA_1和NA_2的方程。
步骤 5：求解P的坐标
联立直线MA_1和NA_2的方程，求解P的坐标。
步骤 6：证明P在定直线上
根据P的坐标，证明P在定直线上。
双曲线的中心为原点，左焦点为（-2$\sqrt{5}$，0），离心率为$\sqrt{5}$。根据双曲线的定义，离心率$e=\frac{c}{a}$，其中$c$是焦距的一半，$a$是实轴的一半。因此，我们有$c=2\sqrt{5}$，$e=\sqrt{5}$，从而可以求出$a$的值。
步骤 2：计算$a$的值
由$e=\frac{c}{a}$，代入$c=2\sqrt{5}$，$e=\sqrt{5}$，得到$a=2$。
步骤 3：计算$b$的值
根据双曲线的焦距公式$c^2=a^2+b^2$，代入$c=2\sqrt{5}$，$a=2$，得到$b^2=16$，从而$b=4$。
步骤 4：写出双曲线的方程
根据$a$和$b$的值，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$a=2$，$b=4$，得到$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$。
【答案】
双曲线C的方程为$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$。
（2）证明P在定直线上
【解析】
步骤 1：确定直线MN的方程
过点（-4，0）的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限。设直线MN的方程为$x=my-4$，其中$m$是斜率。
步骤 2：联立直线和双曲线方程
联立直线方程$x=my-4$和双曲线方程$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$，得到一个关于$y$的二次方程。
步骤 3：求解$y_1$和$y_2$
解二次方程得到$y_1$和$y_2$，即M和N的$y$坐标。
步骤 4：确定直线MA_1和NA_2的方程
根据M和N的坐标，以及A_1（-2，0）和A_2（2，0）的坐标，写出直线MA_1和NA_2的方程。
步骤 5：求解P的坐标
联立直线MA_1和NA_2的方程，求解P的坐标。
步骤 6：证明P在定直线上
根据P的坐标，证明P在定直线上。