(2)y=arcsin 2x的反函数为( ).A. y=2sinxB. y=(sin x)/(2)C. y=sin2xD. y=sin(x)/(2)

本题考查反函数的求解，解题思路是先明确原函数的定义域和值域，然后通过原函数表达式解出$x$关于$y$的表达式，最后将$x$与$y$互换得到反函数。

1. 确定原函数$y = \arcsin 2x$的定义域和值域：
   • 对于反正弦函数$\arcsin u$，其定义域为$-1\leqslant u\leqslant 1$，在函数$y = \arcsin 2x$中，$u = 2x$，所以$-1\leqslant 2x\leqslant 1$，解这个不等式：
     • 不等式两边同时除以$2$，得到$-\frac{1}{2}\leqslant x\leqslant\frac{1}{2}$，即原函数的定义域为$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$。
   • 反正弦函数$\arcsin u$的值域为$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$，所以原函数$y = \arcsin 2x$的值域为$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$。
2. 由原函数$y = \arcsin 2x$解出$x$关于$y$的表达式：
   • 根据反正弦函数的定义，若$y=\arcsin u$，则$u = \sin y$。
   • 对于$y = \arcsin 2x$，可得$2x=\sin y$。
   • 等式两边同时除以$2$，解得$x=\frac{\sin y}{2}$。
3. 将$x$与$y$互换得到反函数：
   • 把$x$与$y$互换，得到$y=\frac{\sin x}{2}$，其定义域为原函数的值域$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$。