1/25 单选题设某类晶体管的寿命(以小时计)具有如下密度函数f(x)=}(1000)/(x^2),&x>10000,&else 假设有5个相同型号的这种电子管，它们的寿命相互独立，则一台电子管收音机在开始使用1500小时中，恰好有2个需要替换的概率为（）.A. 80/243B. 40/243C. 2/3D. 1/3

本题考查二项分布以及连续型随机变量概率的计算。解题的关键思路是先求出一个电子管在开始使用$1500$小时内需要替换的概率，再根据二项分布的概率公式计算$5$个电子管中恰好有$2$个需要替换的概率。

1. 计算一个电子管在开始使用$1500$小时内需要替换的概率$p$：
   已知电子管的寿命$X$的密度函数为$f(x)=\begin{cases}\frac{1000}{x^{2}},&x > 1000\\0,&\text{else}\end{cases}$，一个电子管在开始使用$1500$小时内需要替换，意味着其寿命$X\leqslant1500$。
   根据连续型随机变量概率的计算公式$P(a\leqslant X\leqslant b)=\int_{a}^{b}f(x)dx$，可得：
   $p = P(X\leqslant1500)=\int_{1000}^{1500}\frac{1000}{x^{2}}dx$
   根据积分公式$\int x^n dx=\frac{x^{n + 1}}{n + 1}+C$（$n\neq -1$），对$\int_{1000}^{1500}\frac{1000}{x^{2}}dx$进行计算：
   $\int_{1000}^{1500}\frac{1000}{x^{2}}dx = 1000\int_{1000}^{1500}x^{-2}dx = 1000\left[-x^{-1}\right]_{1000}^{1500}$
   $= 1000\left(-\frac{1}{1500}+\frac{1}{1000}\right)= 1000\times\frac{1}{3000}=\frac{1}{3}$
2. 判断$5$个电子管的寿命情况服从的分布：
   因为有$5$个相同型号的这种电子管，它们的寿命相互独立，且每个电子管在开始使用$1500$小时内需要替换的概率都为$p = \frac{1}{3}$，不需要替换的概率为$1 - p = 1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$，所以$5$个电子管中需要替换的电子管个数$Y$服从参数为$n = 5$，$p = \frac{1}{3}$的二项分布，即$Y\sim B(5,\frac{1}{3})$。
3. 根据二项分布的概率公式计算$P(Y = 2)$：
   二项分布的概率公式为$P(Y = k)=C_{n}^{k}p^{k}(1 - p)^{n - k}$，其中$C_{n}^{k}=\frac{n!}{k!(n - k)!}$。
   将$n = 5$，$k = 2$，$p = \frac{1}{3}$代入公式可得：
   $P(Y = 2)=C_{5}^{2}(\frac{1}{3})^{2}(1 - \frac{1}{3})^{5 - 2}$
   先计算组合数$C_{5}^{2}=\frac{5!}{2!(5 - 2)!}=\frac{5\times4}{2\times1}= 10$。
   再计算$(\frac{1}{3})^{2}(1 - \frac{1}{3})^{5 - 2}=(\frac{1}{3})^{2}(\frac{2}{3})^{3}=\frac{1}{9}\times\frac{8}{27}=\frac{8}{243}$。
   所以$P(Y = 2)=10\times\frac{8}{243}=\frac{80}{243}$。