将曲线 {}2x^2+y^2=1,z=0. 绕 y 轴旋转一周所生成的旋转曲面的方程为（）A. 2x^2 + y^2 + z^2 = 1B. 2(x^2 + z^2)+ y^2 = 1C. 2x^2 + y^2 - z^2 = 1D. 2(x^2 - z^2)+ y^2 = 1

考查要点：本题考查旋转曲面的方程求解，核心在于理解绕坐标轴旋转时坐标变量的替换规律。

解题思路：

1. 原曲线分析：给定曲线在$z=0$平面上，方程为$2x^2 + y^2 = 1$，是椭圆。
2. 旋转特性：绕$y$轴旋转时，$y$坐标不变，原$x$坐标扩展为旋转后的点$(x, z)$满足$x^2 + z^2 = \text{原}x^2$。
3. 变量替换：将原方程中的$x^2$替换为$x^2 + z^2$，得到旋转曲面方程。

步骤1：确定旋转规律

绕$y$轴旋转时，任意点$(x, y, 0)$旋转后的位置满足：

• $y$坐标不变；
• 原$x$坐标扩展为圆，满足$x^2 + z^2 = (\text{原}x)^2$。

步骤2：代入原方程

原方程$2x^2 + y^2 = 1$中，将$x^2$替换为$x^2 + z^2$，得：
$2(x^2 + z^2) + y^2 = 1$

步骤3：匹配选项

对比选项，方程$2(x^2 + z^2) + y^2 = 1$对应选项B。