设 alpha_(1)=x(cos sqrt(x)-1), alpha_(2)=sqrt(x) ln (1+sqrt[3](x)), alpha_(3)=sqrt[3](x+1)-1, 当 x arrow 0^+ 时, 以上三个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是 ( ).(A) alpha_(1), alpha_(2), alpha_(3);(B) alpha_(2), alpha_(3), alpha_(1);(C) alpha_(2), alpha_(1), alpha_(3);(D) alpha_(3), alpha_(2), alpha_(1).

我们来分析题目中给出的三个无穷小量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，当 $x \to 0^+$ 时的阶数，目的是比较它们趋近于 0 的“速度”，并按照从低阶到高阶（即从趋近慢到趋近快）排序。

第一步：理解“阶”的含义

当 $x \to 0^+$ 时，若一个函数 $\alpha(x) \sim C x^p$（其中 $C \ne 0$），则称 $\alpha(x)$ 是 $x^p$ 阶的无穷小。
阶数 $p$ 越小，趋近于 0 越慢，是低阶无穷小；
阶数 $p$ 越大，趋近于 0 越快，是高阶无穷小。

所以我们需要分别对 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 进行泰勒展开或等价无穷小替换，找出它们的主部（即主导项）的阶数。

第二步：分析 $\alpha_1 = x(\cos \sqrt{x} - 1)$

令 $t = \sqrt{x}$，则当 $x \to 0^+$ 时，$t \to 0^+$，且 $x = t^2$。

代入得：
$\alpha_1 = t^2 (\cos t - 1)$

利用泰勒展开：
$\cos t = 1 - \frac{t^2}{2!} + \frac{t^4}{4!} - \cdots \Rightarrow \cos t - 1 = -\frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} - \cdots$

所以：
$\alpha_1 = t^2 \left( -\frac{t^2}{2} + o(t^4) \right) = -\frac{t^4}{2} + o(t^4) = -\frac{1}{2} x^2 + o(x^2)$

因此，$\alpha_1 \sim -\frac{1}{2} x^2$，是 $x^2$ 阶无穷小。

第三步：分析 $\alpha_2 = \sqrt{x} \ln(1 + \sqrt[3]{x})$

令 $x \to 0^+$，则 $\sqrt[3]{x} = x^{1/3} \to 0$，所以可以用 $\ln(1+u) \sim u$ 当 $u \to 0$。

所以：
$\ln(1 + x^{1/3}) \sim x^{1/3} \quad (x \to 0^+)$

因此：
$\alpha_2 \sim \sqrt{x} \cdot x^{1/3} = x^{1/2} \cdot x^{1/3} = x^{1/2 + 1/3} = x^{5/6}$

所以 $\alpha_2$ 是 $x^{5/6}$ 阶无穷小。

第四步：分析 $\alpha_3 = \sqrt[3]{x+1} - 1$

这是一个标准形式，可以利用泰勒展开或等价无穷小。

令 $f(x) = (1 + x)^{1/3}$，在 $x=0$ 处展开：
$(1 + x)^{1/3} = 1 + \frac{1}{3}x - \frac{1}{9}x^2 + \cdots$

所以：
$\alpha_3 = (1 + x)^{1/3} - 1 \sim \frac{1}{3}x \quad (x \to 0)$

因此，$\alpha_3 \sim \frac{1}{3}x$，是 $x^1$ 阶无穷小。

第五步：比较三个无穷小的阶数

我们现在有：

• $\alpha_1 \sim C_1 x^2$：阶数为 2
• $\alpha_2 \sim C_2 x^{5/6}$：阶数为 $5/6 \approx 0.833$
• $\alpha_3 \sim C_3 x^1$：阶数为 1

注意：阶数越低，趋近于 0 越慢，是低阶无穷小。

所以按阶数从小到大排序（即从低阶到高阶）：

$\text{阶数 } \frac{5}{6} < 1 < 2 \Rightarrow \alpha_2\ (\text{最低阶}),\ \alpha_3,\ \alpha_1\ (\text{最高阶})$

所以顺序是：$\alpha_2,\ \alpha_3,\ \alpha_1$

第六步：选择答案

选项中：

• (A) $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$
• (B) $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_1$ ✅
• (C) $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$
• (D) $\alpha_3, \alpha_2, \alpha_1$

正确答案是 (B)

✅ 最终答案：

$\boxed{\text{(B) } \alpha_2, \alpha_3, \alpha_1}$