试分别就下面两种情况讨论函数 F(x) = f(x)g(x) 在 x_0 处的连续性：(1) 函数 f(x) 与 g(x) 都在 x_0 处不连续；(2) 函数 f(x) 在 x_0 处连续，函数 g(x) 在 x_0 处不连续。

考查要点：本题主要考查函数乘积在某点连续性的判断，需要结合函数连续的定义，分析不同情况下乘积函数的连续性可能性。

解题核心思路：

1. 连续性定义：函数在某点连续要求函数在该点处极限值等于函数值。
2. 乘积函数特性：两个函数的乘积是否连续，取决于它们在该点的极限和函数值的关系。
3. 关键点：通过构造具体例子，说明不同情况下乘积函数可能连续或不连续，从而得出结论。

第（1）题

情况：$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_0$ 处均不连续。
结论：$F(x)=f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处的连续性不确定（可能连续或不连续）。

例子1

• 构造函数：
  $f(x)=\begin{cases}1, & x \neq x_0 \\ 0, & x = x_0\end{cases}, \quad g(x)=\begin{cases}1, & x \neq x_0 \\ 0, & x = x_0\end{cases}$
• 乘积结果：
  $F(x)=f(x)g(x)=\begin{cases}1 \cdot 1=1, & x \neq x_0 \\ 0 \cdot 0=0, & x = x_0\end{cases}$
• 分析：$\lim\limits_{x \to x_0} F(x)=1 \neq F(x_0)=0$，故 $F(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。

例子2

• 构造函数：
  $f(x)=\begin{cases}1, & x \neq x_0 \\ 0, & x = x_0\end{cases}, \quad g(x)=\begin{cases}0, & x \neq x_0 \\ 1, & x = x_0\end{cases}$
• 乘积结果：
  $F(x)=f(x)g(x)=\begin{cases}1 \cdot 0=0, & x \neq x_0 \\ 0 \cdot 1=0, & x = x_0\end{cases}=0$
• 分析：$\lim\limits_{x \to x_0} F(x)=0=F(x_0)$，故 $F(x)$ 在 $x_0$ 处连续。

第（2）题

情况：$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$g(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。
结论：$F(x)=f(x)g(x)$ 在 $x_0$ 处的连续性不确定（可能连续或不连续）。

例子1

• 构造函数：
  $f(x)=1 \quad (\text{连续}), \quad g(x)=\begin{cases}1, & x \neq x_0 \\ 0, & x = x_0\end{cases}$
• 乘积结果：
  $F(x)=f(x)g(x)=g(x)$
• 分析：$\lim\limits_{x \to x_0} F(x)=1 \neq F(x_0)=0$，故 $F(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。

例子2

• 构造函数：
  $f(x)=0 \quad (\text{连续}), \quad g(x) \quad (\text{在 } x_0 \text{ 处不连续})$
• 乘积结果：
  $F(x)=f(x)g(x)=0$
• 分析：$\lim\limits_{x \to x_0} F(x)=0=F(x_0)$，故 $F(x)$ 在 $x_0$ 处连续。