题目
同一弹簧振子，在光滑水平面上作一维简谐振动与在竖直悬挂情况下作简谐振动，其振动频率是否相同？如果把它放在光滑斜面上，是否还作简谐振动，振动频率是否改变？当斜面倾角不同时又如何？
同一弹簧振子，在光滑水平面上作一维简谐振动与在竖直悬挂情况下作简谐振动，其振动频率是否相同？如果把它放在光滑斜面上，是否还作简谐振动，振动频率是否改变？当斜面倾角不同时又如何？
题目解答
答案
同一个弹簧振子，在水平面上的一维简谐运动与在竖直方向上的简谐运动，其振动频率相同。如把它放在光滑斜面上，仍作简谐运动，振动频率不变，且不随斜面倾角的变化而变化。
解析
步骤 1：水平面上的简谐振动
在光滑水平面上，弹簧振子的回复力仅由弹簧的弹力提供，根据胡克定律，回复力 \(F = -kx\)，其中 \(k\) 是弹簧的劲度系数，\(x\) 是位移。根据简谐振动的定义，回复力与位移成正比且方向相反，因此弹簧振子在水平面上作简谐振动。其振动频率 \(f\) 由公式 \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) 给出，其中 \(m\) 是振子的质量。
步骤 2：竖直悬挂情况下的简谐振动
在竖直悬挂情况下，弹簧振子的回复力由弹簧的弹力和重力的合力提供。当振子处于平衡位置时，弹簧的弹力与重力平衡，即 \(kx_0 = mg\)，其中 \(x_0\) 是平衡位置的位移。当振子偏离平衡位置时，回复力 \(F = -k(x - x_0)\)。由于 \(x_0\) 是常数，回复力仍然与位移成正比且方向相反，因此弹簧振子在竖直悬挂情况下也作简谐振动。其振动频率 \(f\) 仍由公式 \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) 给出，与水平面上的情况相同。
步骤 3：光滑斜面上的简谐振动
当弹簧振子放在光滑斜面上时，回复力由弹簧的弹力和重力沿斜面方向的分力提供。当振子处于平衡位置时，弹簧的弹力与重力沿斜面方向的分力平衡，即 \(kx_0 = mg\sin\theta\)，其中 \(\theta\) 是斜面的倾角。当振子偏离平衡位置时，回复力 \(F = -k(x - x_0)\)。由于 \(x_0\) 是常数，回复力仍然与位移成正比且方向相反，因此弹簧振子在光滑斜面上也作简谐振动。其振动频率 \(f\) 仍由公式 \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) 给出，与水平面上和竖直悬挂情况相同。因此，振动频率不随斜面倾角的变化而变化。
在光滑水平面上，弹簧振子的回复力仅由弹簧的弹力提供，根据胡克定律，回复力 \(F = -kx\)，其中 \(k\) 是弹簧的劲度系数，\(x\) 是位移。根据简谐振动的定义，回复力与位移成正比且方向相反，因此弹簧振子在水平面上作简谐振动。其振动频率 \(f\) 由公式 \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) 给出，其中 \(m\) 是振子的质量。
步骤 2：竖直悬挂情况下的简谐振动
在竖直悬挂情况下，弹簧振子的回复力由弹簧的弹力和重力的合力提供。当振子处于平衡位置时，弹簧的弹力与重力平衡，即 \(kx_0 = mg\)，其中 \(x_0\) 是平衡位置的位移。当振子偏离平衡位置时，回复力 \(F = -k(x - x_0)\)。由于 \(x_0\) 是常数，回复力仍然与位移成正比且方向相反，因此弹簧振子在竖直悬挂情况下也作简谐振动。其振动频率 \(f\) 仍由公式 \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) 给出，与水平面上的情况相同。
步骤 3：光滑斜面上的简谐振动
当弹簧振子放在光滑斜面上时，回复力由弹簧的弹力和重力沿斜面方向的分力提供。当振子处于平衡位置时，弹簧的弹力与重力沿斜面方向的分力平衡，即 \(kx_0 = mg\sin\theta\)，其中 \(\theta\) 是斜面的倾角。当振子偏离平衡位置时，回复力 \(F = -k(x - x_0)\)。由于 \(x_0\) 是常数，回复力仍然与位移成正比且方向相反，因此弹簧振子在光滑斜面上也作简谐振动。其振动频率 \(f\) 仍由公式 \(f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}\) 给出，与水平面上和竖直悬挂情况相同。因此，振动频率不随斜面倾角的变化而变化。