（1）假定金核半径为 7.0 mathrm(fm)，试问：入射质子需要多少能量，才能在对头碰撞时刚好到达金核的表面？（2）若金核改为铝核，使质子在对头碰撞时刚好到达铝核的表面，那么，入射质子的能量应为多少？设铝核半径为 4.0 mathrm(fm)。

本题主要考察库仑定律以及能量守恒定律在微观粒子碰撞问题中的应用。解题的关键思路是：当入射质子刚好到达原子核表面时，其初始的动能全部转化为质子与原子核之间的电势能，根据能量守恒定律，我们可以通过计算质子与原子核在表面时的电势能来得到入射质子所需的能量。

（1）对于金核的情况

• 首先明确相关物理量：
  • 静电力常量 $k = 8.99\times 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^{2}/C^{2}}$；
  • 金的原子序数 $Z_{\text{Au}} = 79$；
  • 元电荷 $e = 1.6\times 10^{-19}\ \mathrm{C}$；
  • 金核半径 $r_{\text{Au}} = 7.0\times 10^{-15}\ \mathrm{m}$。
• 根据库仑定律，质子与金核在距离为 $r_{\text{Au}}$ 时的电势能公式为 $E_p = k\frac{Z_{\text{Au}}e^2}{r_{\text{Au}}}$。
• 由能量守恒定律，入射质子刚好到达金核表面时，其初始动能 $K$ 等于此时的电势能 $E_p$，即 $K = k\frac{Z_{\text{Au}}e^2}{r_{\text{Au}}}$。
• 代入数据进行计算：
  $\begin{align*}K&= 8.99\times 10^{9} \times \frac{79\times(1.6\times 10^{-19})^2}{7.0\times 10^{-15}}\\&= 8.99\times 10^{9} \times \frac{79\times 2.56\times 10^{-38}}{7.0\times 10^{-15}}\\&= 8.99\times 10^{9} \times \frac{204.64\times 10^{-38}}{7.0\times 10^{-15}}\\&= 8.99\times 10^{9} \times 29.234\times 10^{-23}\\&= 2.598\times 10^{-12}\ \mathrm{J}\end{align*}$
• 因为 $1\ \mathrm{eV} = 1.6\times 10^{-19}\ \mathrm{J}$，$1\ \mathrm{MeV} = 10^{6}\ \mathrm{eV}$，所以将能量单位换算为 $\mathrm{MeV}$：
  $K = \frac{2.598\times 10^{-12}}{1.6\times 10^{-19} \times 10^{6}} = 16.24\ \mathrm{MeV}$

（2）对于铝核的情况

• 明确相关物理量：
  • 铝的原子序数 $Z_{\text{Al}} = 13$；
  • 铝核半径 $r_{\text{Al}} = 4.0\times 10^{-15}\ \mathrm{m}$。
• 同样根据能量守恒定律，入射质子刚好到达铝核表面时，其初始动能 $K$ 等于此时的电势能 $E_p = k\frac{Z_{\text{Al}}e^2}{r_{\text{Al}}}$。
• 代入数据进行计算：
  $\begin{align*}K&= 8.99\times 10^{9} \times \frac{13\times(1.6\times 10^{-19})^2}{4.0\times 10^{-15}}\\&= 8.99\times 10^{9} \times \frac{13\times 2.56\times 10^{-38}}{4.0\times 10^{-15}}\\&= 8.99\times 10^{9} \times \frac{33.28\times 10^{-38}}{4.0\times 10^{-15}}\\&= 8.99\times 10^{9} \times 8.32\times 10^{-23}\\&= 7.48\times 10^{-13}\ \mathrm{J}\end{align*}$
• 将能量单位换算为 $\mathrm{MeV}$：
  $K = \frac{7.48\times 10^{-13}}{1.6\times 10^{-19} \times 10^{6}} = 4.68\ \mathrm{MeV}$