计算下列不定积分:-|||-int dfrac (1+sin x)(1+cos x)cdot (e)^xdx -

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，涉及分式化简、分部积分法的应用，以及三角恒等式的灵活运用。

解题核心思路：

1. 分式化简：将分式 $\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}$ 拆分为两个更简单的分式之和，利用三角恒等式简化表达式。
2. 分部积分法：对拆分后的积分分别应用分部积分法，通过巧妙选择分部积分中的 $u$ 和 $dv$，使得积分过程简化。
3. 抵消技巧：通过分部积分后的结果与原积分中的另一部分结合，实现积分项的抵消，最终得到简洁的解。

破题关键点：

• 分式拆分：将分子拆分为 $1$ 和 $\sin x$，分别与分母结合，利用三角恒等式 $\cos x = 2\cos^2 \dfrac{x}{2} - 1$ 和 $\sin x = 2\sin \dfrac{x}{2}\cos \dfrac{x}{2}$ 进行化简。
• 分部积分的选择：对 $\sec^2 \dfrac{x}{2}$ 进行分部积分，利用其导数与 $\tan \dfrac{x}{2}$ 的关系，简化计算过程。

步骤 1：分式化简
将分式 $\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x}$ 拆分为两部分：
$\begin{aligned}\dfrac{1+\sin x}{1+\cos x} &= \dfrac{1}{1+\cos x} + \dfrac{\sin x}{1+\cos x} \\&= \dfrac{1}{2\cos^2 \dfrac{x}{2}} + \tan \dfrac{x}{2}.\end{aligned}$

步骤 2：拆分积分
原积分变为：
$\int \left( \dfrac{1}{2\cos^2 \dfrac{x}{2}} + \tan \dfrac{x}{2} \right) e^x dx = \dfrac{1}{2} \int \sec^2 \dfrac{x}{2} \cdot e^x dx + \int \tan \dfrac{x}{2} \cdot e^x dx.$

步骤 3：分部积分处理第一个积分
对 $\dfrac{1}{2} \int \sec^2 \dfrac{x}{2} \cdot e^x dx$，设：

• $u = e^x$，则 $du = e^x dx$，
• $dv = \sec^2 \dfrac{x}{2} dx$，则 $v = 2 \tan \dfrac{x}{2}$。

分部积分结果为：
$\begin{aligned}\dfrac{1}{2} \int \sec^2 \dfrac{x}{2} \cdot e^x dx &= \dfrac{1}{2} \left( e^x \cdot 2 \tan \dfrac{x}{2} - \int 2 \tan \dfrac{x}{2} \cdot e^x dx \right) \\&= e^x \tan \dfrac{x}{2} - \int \tan \dfrac{x}{2} \cdot e^x dx.\end{aligned}$

步骤 4：合并积分结果
将分部积分结果与第二个积分相加：
$\begin{aligned}& e^x \tan \dfrac{x}{2} - \int \tan \dfrac{x}{2} \cdot e^x dx + \int \tan \dfrac{x}{2} \cdot e^x dx \\&= e^x \tan \dfrac{x}{2} + C.\end{aligned}$