题目

4、如果Phi(x)=int_(0)^sqrt(x)sqrt(1+t^2)dt，则Phi^prime(x)=（）. A.sqrt(1+x) B.(sqrt(1+x))/(2) C.(sqrt(1+x))/(sqrt(x)) D.(sqrt(1+x))/(2sqrt(x))

4、如果$\Phi(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}\sqrt{1+t^{2}}dt$，则$\Phi^{\prime}(x)=（）.$
A.$\sqrt{1+x}$
B.$\frac{\sqrt{1+x}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{x}}$
D.$\frac{\sqrt{1+x}}{2\sqrt{x}}$

题目解答

答案

为了找到函数 $\Phi(x) = \int_{0}^{\sqrt{x}} \sqrt{1+t^2} \, dt$ 的导数 $\Phi'(x)$，我们可以使用微积分基本定理，该定理指出如果 $F(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt$，那么 $F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$。在这个问题中，下限 $a(x) = 0$ 是常数，所以 $a'(x) = 0$。因此，公式简化为 $F'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x)$。 这里，$f(t) = \sqrt{1+t^2}$，$b(x) = \sqrt{x}$，且 $b'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。应用微积分基本定理，我们得到： \[ \Phi'(x) = \sqrt{1 + (\sqrt{x})^2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \sqrt{1 + x} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{1 + x}}{2\sqrt{x}} \] 因此，正确答案是 $\boxed{D}$。

解析

考查要点：本题主要考查变上限积分的求导法则（莱布尼茨规则）的应用，以及链式法则的使用。

解题核心思路：

  1. 识别积分上限为关于$x$的函数，即$\sqrt{x}$，需对其求导。
  2. 应用微积分基本定理，将积分上限的导数与被积函数在上限处的值相乘。
  3. 简化表达式，注意代数运算的准确性。

破题关键点：

  • 正确应用莱布尼茨规则，明确积分上下限的导数关系。
  • 代入被积函数时，需将上限$\sqrt{x}$代入$t$的位置。
  • 化简过程中，注意平方和根号的运算顺序。

根据变上限积分的求导法则，若$\Phi(x) = \int_{a(x)}^{b(x)} f(t) \, dt$，则其导数为：
$\Phi'(x) = f(b(x)) \cdot b'(x) - f(a(x)) \cdot a'(x)$

本题具体步骤：

  1. 确定积分上下限和被积函数：

    • 下限$a(x) = 0$，导数$a'(x) = 0$。
    • 上限$b(x) = \sqrt{x}$，导数$b'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
    • 被积函数$f(t) = \sqrt{1 + t^2}$。

  2. 代入莱布尼茨公式：
    由于下限为常数，第二项为$0$，因此：
    $\Phi'(x) = f(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

  3. 计算$f(\sqrt{x})$：
    将$t = \sqrt{x}$代入$f(t)$：
    $f(\sqrt{x}) = \sqrt{1 + (\sqrt{x})^2} = \sqrt{1 + x}$

  4. 综合结果：
    代入后得到：
    $\Phi'(x) = \frac{\sqrt{1 + x}}{2\sqrt{x}}$

对应选项：D