题空说明:共3题，每题10分。36. (10.0分) 一阶线性微分方程的求解一般采用什么方法?

一阶线性微分方程的标准形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$，其求解核心在于将方程转化为可分离变量的形式。关键方法是常数变易法，即先求解对应的齐次方程 $y' + P(x)y = 0$，得到通解中的常数项，再将该常数视为函数，代入原方程求解非齐次方程的特解。这种方法通过变易常数的思想，将齐次解推广到非齐次情况。

常数变易法的核心步骤

1. 求解齐次方程
   对应齐次方程 $y' + P(x)y = 0$ 的通解为：
   $y_h = C e^{-\int P(x) dx}$
   其中 $C$ 为常数。

2. 假设通解形式
   将常数 $C$ 替换为函数 $u(x)$，假设非齐次方程的解为：
   $y = u(x) e^{-\int P(x) dx}$

3. 代入原方程求 $u(x)$
   将假设解代入原方程 $y' + P(x)y = Q(x)$，化简后得到关于 $u(x)$ 的一阶方程：
   $u'(x) e^{-\int P(x) dx} = Q(x)$
   进一步积分得：
   $u(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C$

4. 写出通解
   将 $u(x)$ 代入假设解，得到原方程的通解：
   $y = e^{-\int P(x) dx} \left( \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx + C \right)$