题目
(中上)利用定积分的几何意义,求下列积分:(1) ; (2) ;(3) ;(4).
(中上)利用定积分的几何意义,求下列积分:
(1) 
; (2) 
;
(3) 
;(4)
.
题目解答
答案
解析:
(1) 根据定积分的几何意义,
表示的是由直线y= x,x = t以及x轴所围成的直角三角形面积,该直角三角形的两条直角边的长均为t,因此面积为
,故有
(2)根据定积分的几何意义,表示的是由直线,x =-2,x =4以及x轴所围成的梯形的面积,该梯形的两底长分别为和,梯形的高为4-(-2) =6,因此面积为21.故有
(3)根据定积分的几何意义,表示的是由折线y = |x| 和直线x =-1,x = 2以及x轴所围成的图形的面积.该图形由两个等腰直角三角形组成,一个由直线y =-x,x =-1和x轴所围成,其直角边长为1,面积为一;另一个由直线y=x,x=2和x轴所围成,其直角边长为2,面积为2.因此
(4)根据定积分的几何意义,表示的是由上半圆周以及x轴所围成的半圆的面积,因此有
解析
(1) 根据定积分的几何意义,${\int }_{0}^{t}xdx$表示的是由直线y= x,x = t以及x轴所围成的直角三角形面积,该直角三角形的两条直角边的长均为t,因此面积为$\dfrac {t^{2}}{2}$,故有${\int }_{0}^{t}xdx=\dfrac {t^{2}}{2}$.
(2) 根据定积分的几何意义,${\int }_{-2}^{4}(\dfrac {x}{2}+3)dx$表示的是由直线y = $\dfrac {x}{2}+3$,x =-2,x =4以及x轴所围成的梯形的面积,该梯形的两底长分别为$\dfrac {-2}{2}+3=2$和$\dfrac {4}{2}+3=5$,梯形的高为4-(-2) =6,因此面积为$\dfrac {1}{2}\times (2+5)\times 6=21$.故有${\int }_{-2}^{4}(\dfrac {x}{2}+3)dx=21$.
(3) 根据定积分的几何意义,${\int }_{-1}^{2}|x|dx$表示的是由折线y = |x| 和直线x =-1,x = 2以及x轴所围成的图形的面积.该图形由两个等腰直角三角形组成,一个由直线y =-x,x =-1和x轴所围成,其直角边长为1,面积为$\dfrac {1}{2}\times 1\times 1=\dfrac {1}{2}$;另一个由直线y=x,x=2和x轴所围成,其直角边长为2,面积为$\dfrac {1}{2}\times 2\times 2=2$.因此${\int }_{-1}^{2}|x|dx=\dfrac {1}{2}+2=\dfrac {5}{2}$.
(4) 根据定积分的几何意义,${\int }_{-3}^{3}\sqrt {9-{x}^{2}}dx$表示的是由上半圆周$y=\sqrt {9-{x}^{2}}$以及x轴所围成的半圆的面积,因此有${\int }_{-3}^{3}\sqrt {9-{x}^{2}}dx=\dfrac {1}{2}\pi \times 3^{2}=\dfrac {9\pi }{2}$.
(2) 根据定积分的几何意义,${\int }_{-2}^{4}(\dfrac {x}{2}+3)dx$表示的是由直线y = $\dfrac {x}{2}+3$,x =-2,x =4以及x轴所围成的梯形的面积,该梯形的两底长分别为$\dfrac {-2}{2}+3=2$和$\dfrac {4}{2}+3=5$,梯形的高为4-(-2) =6,因此面积为$\dfrac {1}{2}\times (2+5)\times 6=21$.故有${\int }_{-2}^{4}(\dfrac {x}{2}+3)dx=21$.
(3) 根据定积分的几何意义,${\int }_{-1}^{2}|x|dx$表示的是由折线y = |x| 和直线x =-1,x = 2以及x轴所围成的图形的面积.该图形由两个等腰直角三角形组成,一个由直线y =-x,x =-1和x轴所围成,其直角边长为1,面积为$\dfrac {1}{2}\times 1\times 1=\dfrac {1}{2}$;另一个由直线y=x,x=2和x轴所围成,其直角边长为2,面积为$\dfrac {1}{2}\times 2\times 2=2$.因此${\int }_{-1}^{2}|x|dx=\dfrac {1}{2}+2=\dfrac {5}{2}$.
(4) 根据定积分的几何意义,${\int }_{-3}^{3}\sqrt {9-{x}^{2}}dx$表示的是由上半圆周$y=\sqrt {9-{x}^{2}}$以及x轴所围成的半圆的面积,因此有${\int }_{-3}^{3}\sqrt {9-{x}^{2}}dx=\dfrac {1}{2}\pi \times 3^{2}=\dfrac {9\pi }{2}$.