3.下列函数中，可以作为连续型随机变量的概率密度是（） (A.)f(x)=}sin x,pile xle (3 pi)/(2), 0, 其他

概率密度函数的两个核心条件：

1. 非负性：对于所有$x$，$f(x) \geq 0$；
2. 归一性：$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1$。

本题需逐一验证选项是否满足这两个条件。关键在于：

• 判断函数在给定区间内的符号；
• 计算积分是否等于1。

选项分析

选项A

• 非负性：在区间$[\pi, \frac{3\pi}{2}]$，$\sin x \leq 0$，不满足非负性。
• 结论：直接排除。

选项B

• 非负性：在区间$[\pi, \frac{3\pi}{2}]$，$-\sin x \geq 0$，满足非负性。
• 归一性：
  $\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} -\sin x \, dx = \cos x \Big|_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} = \cos \frac{3\pi}{2} - \cos \pi = 0 - (-1) = 1$
  满足归一性。
• 结论：符合条件。

选项C

• 非负性：在区间$[\pi, \frac{3\pi}{2}]$，$\cos x \leq 0$，不满足非负性。
• 结论：直接排除。

选项D

• 非负性：在区间$[\pi, \frac{3\pi}{2}]$，$1 - \cos x \geq 0$，满足非负性。
• 归一性：
  $\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} (1 - \cos x) \, dx = \left[ x - \sin x \right]_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} = \left( \frac{3\pi}{2} - (-1) \right) - \left( \pi - 0 \right) = \frac{\pi}{2} + 1 \neq 1$
  不满足归一性。
• 结论：排除。