1 设三阶矩阵A的特征值为-1,1,2，其对应的特征向量为alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),令P=(3alpha_(2),-alpha_(3),2alpha_(1))，则P^-1AP等于( ).A. (}-1&0&00&1&00&0&2)

本题考查矩阵相似对角化的相关知识。解题的关键思路是利用矩阵特征值与特征向量的性质，以及相似对角化的定义来确定$P^{-1}AP$的结果。

已知三阶矩阵$A$的特征值为$\lambda_1 = -1$，$\lambda_2 = 1$，$\lambda_3 = 2$，对应的特征向量为$\alpha_{1}$，$\alpha_{2}$，$\alpha_{3}$。根据特征值与特征向量的定义，有$A\alpha_{i}=\lambda_{i}\alpha_{i}$（$i = 1,2,3$）。

设$P=(3\alpha_{2},-\alpha_{3},2\alpha_{1})$，令$P$的列向量分别为$\beta_{1}=3\alpha_{2}$，$\beta_{2}=-\alpha_{3}$，$\beta_{3}=2\alpha_{1}$。

1. 计算$A\beta_{1}$：
   • 因为$\beta_{1}=3\alpha_{2}$，所以$A\beta_{1}=A(3\alpha_{2})$。
   • 根据矩阵乘法的性质$A(k\alpha)=kA\alpha$（$k$为常数，$\alpha$为向量），可得$A\beta_{1}=3A\alpha_{2}$。
   • 又因为$A\alpha_{2}=\lambda_{2}\alpha_{2}=1\times\alpha_{2}=\alpha_{2}$，所以$A\beta_{1}=3\alpha_{2}$。
   • 而$\beta_{1}=3\alpha_{2}$，即$A\beta_{1}=1\times\beta_{1}$，这表明$\beta_{1}$是矩阵$A$对应特征值$\lambda_{2}=1$的特征向量。
2. 计算$A\beta_{2}$：
   • 因为$\beta_{2}=-\alpha_{3}$，所以$A\beta_{2}=A(-\alpha_{3})$。
   • 根据矩阵乘法的性质$A(k\alpha)=kA\alpha$，可得$A\beta_{2}=-A\alpha_{3}$。
   • 又因为$A\alpha_{3}=\lambda_{3}\alpha_{3}=2\times\alpha_{3}=2\alpha_{3}$，所以$A\beta_{2}=-2\alpha_{3}$。
   • 而$\beta_{2}=-\alpha_{3}$，即$A\beta_{2}=2\times\beta_{2}$，这表明$\beta_{2}$是矩阵$A$对应特征值$\lambda_{3}=2$的特征向量。
3. 计算$A\beta_{3}$：
   • 因为$\beta_{3}=2\alpha_{1}$，所以$A\beta_{3}=A(2\alpha_{1})$。
   • 根据矩阵乘法的性质$A(k\alpha)=kA\alpha$，可得$A\beta_{3}=2A\alpha_{1}$。
   • 又因为$A\alpha_{1}=\lambda_{1}\alpha_{1}=-1\times\alpha_{1}=-\alpha_{1}$，所以$A\beta_{3}=-2\alpha_{1}$。
   • 而$\beta_{3}=2\alpha_{1}$，即$A\beta_{3}=-1\times\beta_{3}$，这表明$\beta_{3}$是矩阵$A$对应特征值$\lambda_{1}=-1$的特征向量。

根据相似对角化的性质，若矩阵$A$有$n$个线性无关的特征向量$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$，对应的特征值为$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$，令$P = (\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n})$，则$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}\lambda_{1}&0&\cdots&0\\0&\lambda_{2}&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_{n}\end{pmatrix}$。

由于$\beta_{1}$，$\beta_{2}$，$\beta_{3}$分别是对应特征值$1$，$2$，$-1$的特征向量，所以$P^{-1}AP=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&-1\end{pmatrix}$。