设α,β,y线性无关.证明 +beta , +y , +a 也线性无关.

考查要点：本题主要考查向量组线性相关性的判定，特别是通过反证法结合线性无关定义进行推导的能力。

解题核心思路：
假设新向量组线性相关，利用原向量组线性无关的性质，推导出系数必须全为零，从而产生矛盾，证明假设不成立。

破题关键点：

1. 反证法的运用：通过假设线性相关，构造线性组合等于零的形式。
2. 系数分离：将新向量组的线性组合展开，按原向量α、β、γ整理系数。
3. 方程组求解：根据原向量组线性无关，系数必须全为零，建立方程组并求解，得出矛盾。

步骤1：假设线性相关
假设向量组 $\alpha+\beta$, $\beta+\gamma$, $\gamma+\alpha$ 线性相关，则存在不全为零的数 $k_1, k_2, k_3$，使得：
$k_1(\alpha+\beta) + k_2(\beta+\gamma) + k_3(\gamma+\alpha) = 0.$

步骤2：展开并整理
展开后合并同类项：
$(k_1 + k_3)\alpha + (k_1 + k_2)\beta + (k_2 + k_3)\gamma = 0.$

步骤3：利用原向量组线性无关
由于 $\alpha, \beta, \gamma$ 线性无关，其系数必须全为零，得到方程组：
$\begin{cases}k_1 + k_3 = 0, \\k_1 + k_2 = 0, \\k_2 + k_3 = 0.\end{cases}$

步骤4：解方程组

• 由第一式得 $k_1 = -k_3$，代入第二式得 $-k_3 + k_2 = 0 \Rightarrow k_2 = k_3$。
• 代入第三式得 $k_2 + k_3 = 0 \Rightarrow k_3 + k_3 = 0 \Rightarrow 2k_3 = 0 \Rightarrow k_3 = 0$。
• 进一步得 $k_1 = 0$，$k_2 = 0$，与假设矛盾。

结论：原假设不成立，故 $\alpha+\beta$, $\beta+\gamma$, $\gamma+\alpha$ 线性无关。