题目

填空题（共6题，18.0分）21.（3.0分）lim_(xto2)(x^2-4)/(x-2)=_.

填空题（共6题，18.0分） 21.（3.0分）$\lim_{x\to2}\frac{x^{2}-4}{x-2}=\_.$

题目解答

答案

将分子因式分解得： \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] 消去公因子 $x - 2$（注意 $x \neq 2$）： \[ \lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x + 2) \] 代入 $x = 2$： \[ \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \] **答案：** $\boxed{4}$

解析

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是利用因式分解法处理分式极限的基本方法。

解题核心思路：当直接代入导致分母为零时，需先对分子或分母进行因式分解，消去公因式，将分式化简为连续函数后再代入求值。

破题关键点：

  1. 识别分子为平方差形式，正确分解因式；
  2. 约分后简化表达式，注意约分的前提条件（分母不为零）；
  3. 代入化简后的表达式直接计算极限。

步骤1：因式分解分子

分子 $x^2 - 4$ 是平方差形式，可分解为：
$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$

步骤2：约分简化表达式

原式变为：
$\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2}$
当 $x \neq 2$ 时，约去公因式 $(x - 2)$，得到：
$x + 2$

步骤3：代入求极限

此时极限转化为：
$\lim_{x \to 2} (x + 2)$
直接代入 $x = 2$：
$2 + 2 = 4$