【填空题】设随机变量X 服从参数为 Θ=2 的指数分布,则 E(X^2)=

指数分布的参数定义是本题的关键。题目中参数θ=2的指数分布，需明确其概率密度函数形式。若θ为尺度参数，则密度函数为$f(x)=\frac{1}{\theta}e^{-x/\theta}$（x≥0），此时$E(X)=\theta$，$D(X)=\theta^2$，进而$E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=2\theta^2$。代入θ=2即可得结果。

方法一：利用方差公式

1. 确定参数定义：题目中θ为尺度参数，故$E(X)=\theta=2$，$D(X)=\theta^2=4$。
2. 计算$E(X^2)$：
   $E(X^2) = D(X) + [E(X)]^2 = 4 + 2^2 = 8.$

方法二：直接积分计算

1. 写出概率密度函数：$f(x)=\frac{1}{2}e^{-x/2}$（x≥0）。
2. 计算积分：
   $E(X^2) = \int_{0}^{\infty} x^2 \cdot \frac{1}{2}e^{-x/2} dx.$
3. 利用伽马函数公式：
   $\int_{0}^{\infty} x^k e^{-\lambda x} dx = \frac{k!}{\lambda^{k+1}}$（k为自然数）。
   当k=2，λ=1/2时，
   $\int_{0}^{\infty} x^2 e^{-x/2} dx = \frac{2!}{(1/2)^{3}} = \frac{2}{1/8} = 16.$
   因此，
   $E(X^2) = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8.$