若 f (x ) = ) (e)^ax,xlt 0 b+sin 2x,xgeqslant 0 . 在 x = 0 处可导，则 a ， b 的值应为( ) A．a = 2，b = 1 B．a = 1，b = 2 C．a =－1，b =－1 D．a = 2，b =－1

步骤 1：确定函数在 x = 0 处的连续性
函数 f(x) 在 x = 0 处可导，首先需要在 x = 0 处连续。这意味着当 x 从左侧趋近于 0 时，函数值应等于当 x 从右侧趋近于 0 时的函数值。即：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x)$
步骤 2：计算左侧极限
当 x 从左侧趋近于 0 时，函数值为 ${e}^{ax}$，因此左侧极限为：
$\lim_{x \to 0^-} f(x) = {e}^{a \cdot 0} = {e}^{0} = 1$
步骤 3：计算右侧极限
当 x 从右侧趋近于 0 时，函数值为 $b + \sin 2x$，因此右侧极限为：
$\lim_{x \to 0^+} f(x) = b + \sin 2 \cdot 0 = b + \sin 0 = b$
步骤 4：确定 b 的值
根据步骤 1，左侧极限等于右侧极限，即：
$1 = b$
步骤 5：确定函数在 x = 0 处的可导性
函数 f(x) 在 x = 0 处可导，意味着在 x = 0 处的左导数等于右导数。即：
$\lim_{x \to 0^-} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0^+} \frac{f(x) - f(0)}{x - 0}$
步骤 6：计算左侧导数
当 x 从左侧趋近于 0 时，函数值为 ${e}^{ax}$，因此左侧导数为：
$\lim_{x \to 0^-} \frac{{e}^{ax} - 1}{x} = a$
步骤 7：计算右侧导数
当 x 从右侧趋近于 0 时，函数值为 $b + \sin 2x$，因此右侧导数为：
$\lim_{x \to 0^+} \frac{b + \sin 2x - b}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin 2x}{x} = 2$
步骤 8：确定 a 的值
根据步骤 5，左侧导数等于右侧导数，即：
$a = 2$