[题目]计算 ^2-3x+1leqslant 0.

考查要点：本题主要考查二次不等式的解法，涉及配方法和二次函数的图像性质。

解题核心思路：

1. 配方法将二次不等式转化为平方差形式，便于直接求解；
2. 利用二次函数开口方向确定解集区间。

破题关键点：

• 配方法的关键是将二次项系数化为1，并构造完全平方；
• 根据二次项系数为正，判断抛物线开口向上，从而确定解集为两实根之间的闭区间。

步骤1：配方变形
将原不等式 $x^2 - 3x + 1 \leqslant 0$ 配方：
$\begin{aligned}x^2 - 3x + 1 &= \left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) - \left(\frac{3}{2}\right)^2 + 1 \\&= \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{9}{4} + 1 \\&= \left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{5}{4}.\end{aligned}$
因此，原不等式等价于：
$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 - \frac{5}{4} \leqslant 0.$

步骤2：解平方差不等式
将不等式变形为：
$\left(x - \frac{3}{2}\right)^2 \leqslant \frac{5}{4}.$
两边开平方得：
$\left|x - \frac{3}{2}\right| \leqslant \frac{\sqrt{5}}{2}.$
解得：
$\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{5}}{2} \leqslant x \leqslant \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}.$

步骤3：整理结果
将结果合并为区间形式：
$x \in \left[ \frac{3 - \sqrt{5}}{2}, \frac{3 + \sqrt{5}}{2} \right].$