题目
二次型 f=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+tx_2x_3 为正定二次型，则t的取值范围为A. (0,2)B. (0,sqrt(2))C. (-sqrt(2),sqrt(2))D. 以上都不对
二次型 $f=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+tx_2x_3$ 为正定二次型，则t的取值范围为
A. $(0,2)$
B. $(0,\sqrt{2})$
C. $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
D. 以上都不对
题目解答
答案
C. $(-\sqrt{2},\sqrt{2})$
解析
步骤 1：确定二次型对应的矩阵
二次型 $f=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+tx_2x_3$ 对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算顺序主子式
1. $ A_1 = 2 > 0 $；
2. $ A_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 > 0 $；
3. $ A_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \frac{t^2}{2} $。
步骤 3：确定 $t$ 的取值范围
为使 $ A_3 > 0 $，需满足： \[ 1 - \frac{t^2}{2} > 0 \implies t^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < t < \sqrt{2} \]
二次型 $f=2x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+tx_2x_3$ 对应的矩阵为： \[ A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{pmatrix} \]
步骤 2：计算顺序主子式
1. $ A_1 = 2 > 0 $；
2. $ A_2 = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 > 0 $；
3. $ A_3 = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \frac{t}{2} \\ 0 & \frac{t}{2} & 1 \end{vmatrix} = 1 - \frac{t^2}{2} $。
步骤 3：确定 $t$ 的取值范围
为使 $ A_3 > 0 $，需满足： \[ 1 - \frac{t^2}{2} > 0 \implies t^2 < 2 \implies -\sqrt{2} < t < \sqrt{2} \]