题目
[题目]若A与B相似,则() ()-|||-A. lambda E-A=lambda E-B-|||-B. |lambda E+A|=|lambda E+B|-|||-C. '=(B)^k-|||-D ^-1=(B)^-1
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解相似矩阵的定义
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
步骤 2：分析选项A
选项A：$\lambda E-A=\lambda E-B$。这个选项是错误的，因为相似矩阵的特征多项式相同，但矩阵本身不一定相等。
步骤 3：分析选项B
选项B：$|\lambda E+A|=|\lambda E+B|$。这个选项是正确的，因为相似矩阵具有相同的特征多项式，即$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$。因此，$|\lambda E+A|=|\lambda E+B|$。
步骤 4：分析选项C
选项C：$A'={B}^{k}$。这个选项是错误的，因为相似矩阵的幂不一定相等。
步骤 5：分析选项D
选项D：${A}^{-1}={B}^{-1}$。这个选项是错误的，因为相似矩阵的逆矩阵不一定相等。
两个矩阵A和B相似，意味着存在一个可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$。相似矩阵具有相同的特征值，但不一定具有相同的特征向量。
步骤 2：分析选项A
选项A：$\lambda E-A=\lambda E-B$。这个选项是错误的，因为相似矩阵的特征多项式相同，但矩阵本身不一定相等。
步骤 3：分析选项B
选项B：$|\lambda E+A|=|\lambda E+B|$。这个选项是正确的，因为相似矩阵具有相同的特征多项式，即$|\lambda E-A|=|\lambda E-B|$。因此，$|\lambda E+A|=|\lambda E+B|$。
步骤 4：分析选项C
选项C：$A'={B}^{k}$。这个选项是错误的，因为相似矩阵的幂不一定相等。
步骤 5：分析选项D
选项D：${A}^{-1}={B}^{-1}$。这个选项是错误的，因为相似矩阵的逆矩阵不一定相等。