题目
(2)(x^2+2xy-y^2)dx+(y^2+2xy-x^2)dy=0, y|_(x=1)=1.
(2)$(x^{2}+2xy-y^{2})dx+(y^{2}+2xy-x^{2})dy=0$, $y|_{x=1}=1$.
题目解答
答案
将方程改写为：
\[
\frac{dy}{dx} = -\frac{x^2 + 2xy - y^2}{y^2 + 2xy - x^2}.
\]
令 $y = ux$，则 $\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$，代入得：
\[
u + x\frac{du}{dx} = -\frac{1 + 2u - u^2}{u^2 + 2u - 1}.
\]
分离变量并积分：
\[
\int \frac{u^2 + 2u - 1}{(u + 1)(u^2 + 1)} du = -\int \frac{dx}{x}.
\]
部分分式分解后积分得：
\[
\ln \left| \frac{u^2 + 1}{u + 1} \right| = -\ln|x| + C_1.
\]
化简得：
\[
\frac{x(u^2 + 1)}{u + 1} = C.
\]
代回 $u = \frac{y}{x}$ 并利用初始条件 $y|_{x=1} = 1$，解得 $C = 1$。
**答案：**
\[
\boxed{x^2 + y^2 = x + y}
\]