题目

设为阶矩阵，1" data-width="49" data-height="19" data-size="580" data-format="png" style="max-width:100%">，且，则下列命题中不正确的是()、的行向量组的极大线性无关组是唯一的、的列向量组的极大线性无关组是唯一的、的列向量组中至少有一个向量是其余列向量的线性组合、可以表示为有限个阶初等矩阵的乘积

设 $A$ 为 $n$ 阶矩阵， $n>1$ ，且 $R(A)=n$ ，则下列命题中不正确的是()

$A$ 、 $A$ 的行向量组的极大线性无关组是唯一的

$B$ 、 $A$ 的列向量组的极大线性无关组是唯一的

$C$ 、 $A$ 的列向量组中至少有一个向量是其余列向量的线性组合

$D$ 、 $A$ 可以表示为有限个 $n$ 阶初等矩阵的乘积

题目解答

解：

因为 $R(A)=n$ ，所以矩阵 $A$ 的所有行向量组成的向量组或所有列向量组成的向量组均是极大线性无关组，所以选项 $A,B$ 正确。

因为矩阵 $A$ 的所有列向量组成的向量组是极大线性无关组，所以所有列向量线性无关，因此，列向量组中不存在一个向量是其余列向量的线性组合，选项 $C$ 错误。

因为有限个 $n$ 阶初等矩阵的乘积，相当于对其中一个初等矩阵不停得作初等变换，又因为矩阵 $A$ 满秩，故选项 $D$ 正确。

故答案为： $C$