【题文】学生在做一道有4个选项的选择题时，如果他不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．（1）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都是dfrac (1)(2)；（2）学生知道正确答案的概率是0.2．

考查要点：本题属于条件概率问题，需要利用贝叶斯定理结合全概率公式进行求解。核心在于理解题目中的先验概率和后验概率的关系，并正确计算各部分概率。

解题思路：

1. 明确事件定义：设事件$A$为“学生知道正确答案”，事件$B$为“学生答对题目”。
2. 确定已知条件：根据题目给出的不同情况，确定$P(A)$和$P(\neg A)$的值。
3. 计算条件概率：利用贝叶斯定理公式：
   $P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}$
   其中，$P(B)$需通过全概率公式计算：
   $P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A)$
4. 代入数值计算：注意当学生知道答案时一定答对（$P(B|A)=1$），不知道时随机猜答对的概率为$\frac{1}{4}$。

第（1）题

已知：$P(A) = \frac{1}{2}$，$P(\neg A) = \frac{1}{2}$。

计算全概率$P(B)$

$P(B) = P(B|A) \cdot P(A) + P(B|\neg A) \cdot P(\neg A) = 1 \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

代入贝叶斯公式

$P(A|B) = \frac{1 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{5}{8}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{8}} = \frac{4}{5} = 0.8$

第（2）题

已知：$P(A) = 0.2$，$P(\neg A) = 0.8$。

计算全概率$P(B)$

$P(B) = 1 \cdot 0.2 + \frac{1}{4} \cdot 0.8 = 0.2 + 0.2 = 0.4$

代入贝叶斯公式

$P(A|B) = \frac{1 \cdot 0.2}{0.4} = \frac{0.2}{0.4} = 0.5$