1.14 已知 lim _(x arrow 0)[a (2+e^frac(1)/(x))(1+e^(4)/(x))+(1+|x|)^(1)/(x)] 存在，求a的值.
题目解答
答案
考虑极限 $\lim_{x \to 0} \left[ a \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} + (1 + |x|)^{\frac{1}{x}} \right]$。
情况1：$x \to 0^+$
此时 $\frac{1}{x} \to +\infty$，分式 $\frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} \to 0$，故极限为 $e$。
情况2：$x \to 0^-$
此时 $\frac{1}{x} \to -\infty$，分式 $\frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} \to 2$，故极限为 $2a + e^{-1}$。
极限存在条件
左右极限相等，即 $2a + e^{-1} = e$，解得 $a = \frac{1}{2}(e - \frac{1}{e})$。
答案： $\boxed{\frac{1}{2}\left(e - \frac{1}{e}\right)}$（或 $\boxed{\frac{e^2 - 1}{2e}}$）
解析
本题考查函数极限存在的条件以及不同趋近方向下极限的计算。解题的关键在于分别计算$x\to0^+$和$x\to0^-$时函数的极限，然后根据函数极限存在的充要条件（左右极限相等）来确定$a$的值。
1. 计算$x\to0^+$时的极限
当$x\to0^+$时，$\frac{1}{x}\to +\infty$。
- 对于$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}}$，分子分母同时除以$e^{\frac{4}{x}}$可得：
$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{2e^{-\frac{4}{x}} + e^{-\frac{3}{x}}}{e^{-\frac{4}{x}} + 1}$
因为当$t\to +\infty$时，$e^{-t}\to 0$，所以$\lim\limits_{x \to 0^+} e^{-\frac{4}{x}} = 0$，$\lim\limits_{x \to 0^+} e^{-\frac{3}{x}} = 0$，则$\lim\limits_{x \to 0^+} \frac{2e^{-\frac{4}{x}} + e^{-\frac{3}{x}}}{e^{-\frac{4}{x}} + 1}=\frac{0 + 0}{0 + 1}=0$。 - 对于$\lim\limits_{x \to 0^+} (1 + |x|)^{\frac{1}{x}}$，因为$x\to0^+$时，$|x| = x$，所以$\lim\limits_{x \to 0^+} (1 + |x|)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0^+} (1 + x)^{\frac{1}{x}}$，根据重要极限$\lim\limits_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$，可得$\lim\limits_{x \to 0^+} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e$。
- 那么$\lim\limits_{x \to 0^+} \left[ a \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} + (1 + |x|)^{\frac{1}{x}} \right]=a\times0 + e = e$。
2. 计算$x\to0^-$时的极限
当$x\to0^-$时，$\frac{1}{x}\to -\infty$。
- 对于$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}}$，因为当$t\to -\infty$时，$e^{t}\to 0$，所以$\lim\limits_{x \to 0^-} e^{\frac{1}{x}} = 0$，$\lim\limits_{x \to 0^-} e^{\frac{4}{x}} = 0$，则$\lim\limits_{x \to 0^-} \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}}=\frac{2 + 0}{1 + 0}=2$。
- 对于$\lim\limits_{x \to 0^-} (1 + |x|)^{\frac{1}{x}}$，因为$x\to0^-$时，$|x| = -x$，所以$\lim\limits_{x \to 0^-} (1 + |x|)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x \to 0^-} (1 - x)^{-\frac{1}{x}}$，令$t = -x$，则当$x\to0^-$时，$t\to0^+$，$\lim\limits_{x \to 0^-} (1 - x)^{-\frac{1}{x}}=\lim\limits_{t \to 0^+} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e$，所以$\lim\limits_{x \to 0^-} (1 + |x|)^{\frac{1}{x}} = e^{-1}$。
- 那么$\lim\limits_{x \to 0^-} \left[ a \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} + (1 + |x|)^{\frac{1}{x}} \right]=a\times2 + e^{-1}=2a + e^{-1}$。
3. 根据极限存在的条件确定$a$的值
因为函数极限存在的充要条件是左右极限相等，即$\lim\limits_{x \to 0^+} \left[ a \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} + (1 + |x|)^{\frac{1}{x}} \right]=\lim\limits_{x \to 0^-} \left[ a \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} + (1 + |x|)^{\frac{1}{x}} \right]$，所以$2a + e^{-1} = e$。
移项可得$2a = e - e^{-1}$，两边同时除以$2$，解得$a = \frac{1}{2}(e - e^{-1})=\frac{1}{2}\left(e - \frac{1}{e}\right)=\frac{e^2 - 1}{2e}$。