1.14 已知 lim _(x arrow 0)[a (2+e^frac(1)/(x))(1+e^(4)/(x))+(1+|x|)^(1)/(x)] 存在，求a的值.

考虑极限 $\lim_{x \to 0} \left[ a \frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} + (1 + |x|)^{\frac{1}{x}} \right]$。
情况1：$x \to 0^+$
此时 $\frac{1}{x} \to +\infty$，分式 $\frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} \to 0$，故极限为 $e$。
情况2：$x \to 0^-$
此时 $\frac{1}{x} \to -\infty$，分式 $\frac{2 + e^{\frac{1}{x}}}{1 + e^{\frac{4}{x}}} \to 2$，故极限为 $2a + e^{-1}$。
极限存在条件
左右极限相等，即 $2a + e^{-1} = e$，解得 $a = \frac{1}{2}(e - \frac{1}{e})$。

答案： $\boxed{\frac{1}{2}\left(e - \frac{1}{e}\right)}$（或 $\boxed{\frac{e^2 - 1}{2e}}$）