题目
(3)iintlimits_(D)arctan(y)/(x)dsigma，其中D是由圆周x^2+y^2=4,x^2+y^2=1及直线y=0，y=x所围成的在第一象限内的闭区域.
(3)$\iint\limits_{D}arctan\frac{y}{x}d\sigma$，其中D是由圆周$x^{2}+y^{2}=4,x^{2}+y^{2}=1$及直线y=0，y=x所围成的在第一象限内的闭区域.
题目解答
答案
在极坐标系中，积分区域 $D$ 为 $1 \leq \rho \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$。被积函数变为 $\theta$，且 $d\sigma = \rho \, d\rho \, d\theta$。
二重积分转换为：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho \, d\theta
\]
先对 $\rho$ 积分：
\[
\int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho = \theta \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{3\theta}{2}
\]
再对 $\theta$ 积分：
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3\theta}{2} \, d\theta = \frac{3}{2} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3\pi^2}{64}
\]
**答案：** $\boxed{\frac{3\pi^2}{64}}$
解析
步骤 1：确定积分区域
积分区域 $D$ 由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 和 $x^{2}+y^{2}=1$ 以及直线 $y=0$ 和 $y=x$ 在第一象限内围成。在极坐标系中，$x^{2}+y^{2}=\rho^{2}$，因此 $1 \leq \rho \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$。
步骤 2：转换被积函数
在极坐标系中，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，因此 $\arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{\rho \sin \theta}{\rho \cos \theta} = \arctan \tan \theta = \theta$。
步骤 3：转换二重积分
二重积分转换为极坐标系下的形式： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho \, d\theta \] 先对 $\rho$ 积分： \[ \int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho = \theta \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{3\theta}{2} \] 再对 $\theta$ 积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3\theta}{2} \, d\theta = \frac{3}{2} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3\pi^2}{64} \]
积分区域 $D$ 由圆周 $x^{2}+y^{2}=4$ 和 $x^{2}+y^{2}=1$ 以及直线 $y=0$ 和 $y=x$ 在第一象限内围成。在极坐标系中，$x^{2}+y^{2}=\rho^{2}$，因此 $1 \leq \rho \leq 2$，$0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$。
步骤 2：转换被积函数
在极坐标系中，$x=\rho \cos \theta$，$y=\rho \sin \theta$，因此 $\arctan \frac{y}{x} = \arctan \frac{\rho \sin \theta}{\rho \cos \theta} = \arctan \tan \theta = \theta$。
步骤 3：转换二重积分
二重积分转换为极坐标系下的形式： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho \, d\theta \] 先对 $\rho$ 积分： \[ \int_{1}^{2} \theta \rho \, d\rho = \theta \left[ \frac{\rho^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{3\theta}{2} \] 再对 $\theta$ 积分： \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3\theta}{2} \, d\theta = \frac{3}{2} \left[ \frac{\theta^2}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{3\pi^2}{64} \]