【导数的应用】9.求函数f(x)=x-ln(1+x^2)-4arctan x的极值.并判断是极大值还是极小值.
题目解答
答案
为了求函数 $f(x) = x - \ln(1 + x^2) - 4 \arctan x$ 的极值，我们需要按照以下步骤进行：
- 求函数的一阶导数 $f'(x)$.
- 令一阶导数等于零，求出临界点.
- 分析临界点处的二阶导数 $f''(x)$ 的符号，以确定是极大值还是极小值.
步骤1：求函数的一阶导数 $f'(x)$
函数为 $f(x) = x - \ln(1 + x^2) - 4 \arctan x$.
首先，求 $x$ 的导数，得到 $1$.
接着，求 $-\ln(1 + x^2)$ 的导数，使用链式法则，得到 $-\frac{1}{1 + x^2} \cdot 2x = -\frac{2x}{1 + x^2}$.
然后，求 $-4 \arctan x$ 的导数，得到 $-4 \cdot \frac{1}{1 + x^2} = -\frac{4}{1 + x^2}$.
将这些导数相加，得到一阶导数：
$f'(x) = 1 - \frac{2x}{1 + x^2} - \frac{4}{1 + x^2} = 1 - \frac{2x + 4}{1 + x^2} = \frac{(1 + x^2) - (2x + 4)}{1 + x^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{1 + x^2}.$
步骤2：令一阶导数等于零，求出临界点
令 $f'(x) = 0$，得到：
$\frac{x^2 - 2x - 3}{1 + x^2} = 0.$
由于分母 $1 + x^2$ 恒不为零，所以只需解分子 $x^2 - 2x - 3 = 0$.
将二次方程 $x^2 - 2x - 3 = 0$ 分解因式，得到：
$(x - 3)(x + 1) = 0.$
Thus, $x = 3$ 或 $x = -1$.
所以，临界点为 $x = 3$ 和 $x = -1$.
步骤3：分析临界点处的二阶导数 $f''(x)$ 的符号
首先，求二阶导数 $f''(x)$.从 $f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{1 + x^2}$ 出发，使用商法则，得到：
$f''(x) = \frac{(2x - 2)(1 + x^2) - (x^2 - 2x - 3) \cdot 2x}{(1 + x^2)^2} = \frac{2x + 2x^3 - 2 - 2x^2 - 2x^3 + 4x^2 + 6x}{(1 + x^2)^2} = \frac{2x^2 + 8x - 2}{(1 + x^2)^2}.$
现在， evaluate $f''(x)$ at $x = 3$:
$f''(3) = \frac{2 \cdot 3^2 + 8 \cdot 3 - 2}{(1 + 3^2)^2} = \frac{18 + 24 - 2}{100} = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} > 0.$
因为 $f''(3) > 0$，所以 $f(x)$ 在 $x = 3$ 处取得极小值.
现在， evaluate $f''(x)$ at $x = -1$:
$f''(-1) = \frac{2 \cdot (-1)^2 + 8 \cdot (-1) - 2}{(1 + (-1)^2)^2} = \frac{2 - 8 - 2}{16} = \frac{-8}{16} = -\frac{1}{2} < 0.$
因为 $f''(-1) < 0$，所以 $f(x)$ 在 $x = -1$ 处取得极大值.
求极值
现在，求 $f(x)$ 在 $x = 3$ 和 $x = -1$ 处的函数值：
$f(3) = 3 - \ln(1 + 3^2) - 4 \arctan 3 = 3 - \ln 10 - 4 \arctan 3,$
$f(-1) = -1 - \ln(1 + (-1)^2) - 4 \arctan(-1) = -1 - \ln 2 - 4 \cdot \left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1 - \ln 2 + \pi.$
综上所述，函数 $f(x)$ 的极大值为 $\pi - 1 - \ln 2$，极小值为 $3 - \ln 10 - 4 \arctan 3$.
最终答案为：
$\boxed{\text{极大值 } \pi - 1 - \ln 2, \text{ 极小值 } 3 - \ln 10 - 4 \arctan 3}.$
解析
考查要点：本题主要考查利用导数求函数极值的方法，涉及一阶导数求临界点、二阶导数判断极值类型。
解题思路：
- 求一阶导数：分别对函数的各组成部分求导，合并后化简。
- 求临界点：令一阶导数为零，解方程得到临界点。
- 求二阶导数：通过商法则对一阶导数再次求导。
- 判断极值类型：代入临界点至二阶导数中，根据符号确定极大或极小。
关键点：
- 导数的正确计算，尤其是复合函数和分式函数的导数。
- 二次方程的因式分解，快速找到临界点。
- 二阶导数的符号分析，决定极值的性质。
步骤1：求一阶导数 $f'(x)$
函数 $f(x) = x - \ln(1 + x^2) - 4 \arctan x$ 的导数为：
- $x$ 的导数为 $1$；
- $-\ln(1 + x^2)$ 的导数为 $-\frac{2x}{1 + x^2}$；
- $-4 \arctan x$ 的导数为 $-\frac{4}{1 + x^2}$。
合并后得：
$f'(x) = 1 - \frac{2x + 4}{1 + x^2} = \frac{x^2 - 2x - 3}{1 + x^2}.$
步骤2：求临界点
令 $f'(x) = 0$，即分子 $x^2 - 2x - 3 = 0$，解得：
$x = 3 \quad \text{或} \quad x = -1.$
步骤3：求二阶导数 $f''(x)$
对 $f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 3}{1 + x^2}$ 使用商法则：
$f''(x) = \frac{(2x - 2)(1 + x^2) - (x^2 - 2x - 3)(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{2x^2 + 8x - 2}{(1 + x^2)^2}.$
步骤4：判断极值类型
- 在 $x = 3$ 处：$f''(3) = \frac{40}{100} > 0$，故为极小值点；
- 在 $x = -1$ 处：$f''(-1) = -\frac{8}{16} < 0$，故为极大值点。
步骤5：计算极值
- 极大值：$f(-1) = -1 - \ln 2 + \pi$；
- 极小值：$f(3) = 3 - \ln 10 - 4 \arctan 3$。