已知随机变量X服从区间[-(pi)/(2), (pi)/(2)]上的均匀分布,Y=sin X,则(Cov)(X,Y)=(). A (pi)/(2) B (2)/(pi) C pi D 无法确定

为了找到 $X$ 和 $Y = \sin X$ 的协方差，其中 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的均匀分布，我们使用协方差的公式： \[ \text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] \] 首先，我们需要找到 $E[X]$，$E[Y]$，和 $E[XY]$。 ### 第一步：计算 $E[X]$ 由于 $X$ 服从区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的均匀分布，期望值 $E[X]$ 是这个区间的中点。对于对称区间 $[-a, a]$，中点是 0。因此， \[ E[X] = 0 \] ### 第二步：计算 $E[Y]$ $Y = \sin X$ 的期望值由下式给出： \[ E[Y] = E[\sin X] = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot f(x) \, dx \] 其中 $f(x)$ 是 $X$ 的概率密度函数。对于区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上的均匀分布，概率密度函数为： \[ f(x) = \frac{1}{\frac{\pi}{2} - \left(-\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{1}{\pi} \] 因此， \[ E[\sin X] = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \cdot \frac{1}{\pi} \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \] 由于 $\sin x$ 是一个奇函数，它在关于零的对称区间上的积分是零： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 0 \] 因此， \[ E[\sin X] = \frac{1}{\pi} \cdot 0 = 0 \] ### 第三步：计算 $E[XY]$ $XY = X \sin X$ 的期望值由下式给出： \[ E[XY] = E[X \sin X] = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \cdot f(x) \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx \] 为了计算 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$，我们使用分部积分法。设 $u = x$ 和 $dv = \sin x \, dx$。那么 $du = dx$ 和 $v = -\cos x$。使用分部积分法的公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到： \[ \int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int -\cos x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx = -x \cos x + \sin x \] 从 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 评估这个表达式，我们得到： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = \left[ -x \cos x + \sin x \right]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \left( -\frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2} + \sin \frac{\pi}{2} \right) - \left( -\left(-\frac{\pi}{2}\right) \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) + \sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) \right) \] 由于 $\cos \frac{\pi}{2} = \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$ 和 $\sin \frac{\pi}{2} = 1$ 和 $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$，这简化为： \[ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = \left( -\frac{\pi}{2} \cdot 0 + 1 \right) - \left( \frac{\pi}{2} \cdot 0 - 1 \right) = 1 + 1 = 2 \] 因此， \[ E[XY] = \frac{1}{\pi} \cdot 2 = \frac{2}{\pi} \] ### 第四步：计算协方差 现在我们可以找到协方差： \[ \text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]E[Y] = \frac{2}{\pi} - 0 \cdot 0 = \frac{2}{\pi} \] 因此，协方差是： \[ \boxed{\frac{2}{\pi}} \] 正确答案是 $\boxed{B}$。