题目
3.9 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=}(3)/(2)xy^2,&0le xle 2,0le yle 1,0,&其他,求边缘概率密度f_(X)(x),f_(Y)(y)
3.9 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为
$f(x,y)=\begin{cases}\frac{3}{2}xy^{2},&0\le x\le 2,0\le y\le 1,\\0,&其他,\end{cases}$
求边缘概率密度$f_{X}(x),f_{Y}(y)$
题目解答
答案
边缘概率密度 $f_X(x)$ 为
$$
f_X(x) = \int_{0}^{1} \frac{3}{2}xy^2 \, dy = \frac{x}{2}, \quad 0 \leq x \leq 2,
$$
其他范围为0。
边缘概率密度 $f_Y(y)$ 为
$$
f_Y(y) = \int_{0}^{2} \frac{3}{2}xy^2 \, dx = 3y^2, \quad 0 \leq y \leq 1,
$$
其他范围为0。
**答案：**
$$
\boxed{
f_X(x) = \begin{cases}
\frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq 2, \\
0, & \text{其他},
\end{cases}, \quad
f_Y(y) = \begin{cases}
3y^2, & 0 \leq y \leq 1, \\
0, & \text{其他}.
\end{cases}
}
$$
解析
步骤 1：计算边缘概率密度 $f_X(x)$
边缘概率密度 $f_X(x)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在 $y$ 上积分得到的。具体来说，对于给定的 $x$，$f_X(x)$ 是 $f(x,y)$ 在 $y$ 的取值范围 $[0,1]$ 上的积分。
$$ f_X(x) = \int_{0}^{1} f(x,y) \, dy = \int_{0}^{1} \frac{3}{2}xy^2 \, dy $$
步骤 2：计算边缘概率密度 $f_Y(y)$
边缘概率密度 $f_Y(y)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在 $x$ 上积分得到的。具体来说，对于给定的 $y$，$f_Y(y)$ 是 $f(x,y)$ 在 $x$ 的取值范围 $[0,2]$ 上的积分。
$$ f_Y(y) = \int_{0}^{2} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{3}{2}xy^2 \, dx $$
步骤 3：计算积分
计算 $f_X(x)$ 的积分：
$$ f_X(x) = \int_{0}^{1} \frac{3}{2}xy^2 \, dy = \frac{3}{2}x \int_{0}^{1} y^2 \, dy = \frac{3}{2}x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{3}{2}x \cdot \frac{1}{3} = \frac{x}{2} $$
计算 $f_Y(y)$ 的积分：
$$ f_Y(y) = \int_{0}^{2} \frac{3}{2}xy^2 \, dx = \frac{3}{2}y^2 \int_{0}^{2} x \, dx = \frac{3}{2}y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{3}{2}y^2 \cdot 2 = 3y^2 $$
边缘概率密度 $f_X(x)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在 $y$ 上积分得到的。具体来说，对于给定的 $x$，$f_X(x)$ 是 $f(x,y)$ 在 $y$ 的取值范围 $[0,1]$ 上的积分。
$$ f_X(x) = \int_{0}^{1} f(x,y) \, dy = \int_{0}^{1} \frac{3}{2}xy^2 \, dy $$
步骤 2：计算边缘概率密度 $f_Y(y)$
边缘概率密度 $f_Y(y)$ 是通过将联合概率密度函数 $f(x,y)$ 在 $x$ 上积分得到的。具体来说，对于给定的 $y$，$f_Y(y)$ 是 $f(x,y)$ 在 $x$ 的取值范围 $[0,2]$ 上的积分。
$$ f_Y(y) = \int_{0}^{2} f(x,y) \, dx = \int_{0}^{2} \frac{3}{2}xy^2 \, dx $$
步骤 3：计算积分
计算 $f_X(x)$ 的积分：
$$ f_X(x) = \int_{0}^{1} \frac{3}{2}xy^2 \, dy = \frac{3}{2}x \int_{0}^{1} y^2 \, dy = \frac{3}{2}x \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{3}{2}x \cdot \frac{1}{3} = \frac{x}{2} $$
计算 $f_Y(y)$ 的积分：
$$ f_Y(y) = \int_{0}^{2} \frac{3}{2}xy^2 \, dx = \frac{3}{2}y^2 \int_{0}^{2} x \, dx = \frac{3}{2}y^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{3}{2}y^2 \cdot 2 = 3y^2 $$