题目
已知曲线方程为 ) x=sqrt (2)cos t y=sin t .
已知曲线方程为
，则曲线在
时的法线方程为（）.
题目解答
答案
因为曲线方程为，故
，
，而
，故曲线在时的斜率为
，又因为切线与法线相互垂直，因此可得法线的斜率
，而当时，
，
，故法线
，即
，所以答案选择
选项。
解析
步骤 1：求导数
曲线方程为$\left \{ \begin{matrix} x=\sqrt {2}\cos t\\ y=\sin t\end{matrix} \right.$，首先求出$x$和$y$关于$t$的导数。
$\dfrac {dx}{dt}=(\sqrt {2}\cos t)'=-\sqrt {2}\sin t$，
$\dfrac {dy}{dt}=(\sin t)'=\cos t$。
步骤 2：求斜率
根据导数，求出曲线在$t=\dfrac {\pi }{4}$时的斜率$y'$。
$y'=\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}=\dfrac {\cos t}{-\sqrt {2}\sin t}$，
当$t=\dfrac {\pi }{4}$时，$y'=\dfrac {\cos \dfrac {\pi }{4}}{-\sqrt {2}\sin \dfrac {\pi }{4}}=\dfrac {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}{-\sqrt {2}\times \dfrac {\sqrt {2}}{2}}=-\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
步骤 3：求法线方程
由于切线与法线相互垂直，法线的斜率为$-\dfrac {1}{y'}=\sqrt {2}$。
当$t=\dfrac {\pi }{4}$时，$x=\sqrt {2}\cos \dfrac {\pi }{4}=1$，$y=\sin \dfrac {\pi }{4}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
因此，法线方程为$\sqrt {2}(x-1)=y-\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，即$2x-\sqrt {2}y-1=0$。
曲线方程为$\left \{ \begin{matrix} x=\sqrt {2}\cos t\\ y=\sin t\end{matrix} \right.$，首先求出$x$和$y$关于$t$的导数。
$\dfrac {dx}{dt}=(\sqrt {2}\cos t)'=-\sqrt {2}\sin t$，
$\dfrac {dy}{dt}=(\sin t)'=\cos t$。
步骤 2：求斜率
根据导数，求出曲线在$t=\dfrac {\pi }{4}$时的斜率$y'$。
$y'=\dfrac {dy}{dx}=\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}=\dfrac {\cos t}{-\sqrt {2}\sin t}$，
当$t=\dfrac {\pi }{4}$时，$y'=\dfrac {\cos \dfrac {\pi }{4}}{-\sqrt {2}\sin \dfrac {\pi }{4}}=\dfrac {\dfrac {\sqrt {2}}{2}}{-\sqrt {2}\times \dfrac {\sqrt {2}}{2}}=-\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
步骤 3：求法线方程
由于切线与法线相互垂直，法线的斜率为$-\dfrac {1}{y'}=\sqrt {2}$。
当$t=\dfrac {\pi }{4}$时，$x=\sqrt {2}\cos \dfrac {\pi }{4}=1$，$y=\sin \dfrac {\pi }{4}=\dfrac {\sqrt {2}}{2}$。
因此，法线方程为$\sqrt {2}(x-1)=y-\dfrac {\sqrt {2}}{2}$，即$2x-\sqrt {2}y-1=0$。