设函数f(x)二阶可导，且f"(x)＞0，f"(x)＞0，△y=f(x+△x)一f(x)，其中△x＜0，则( )．A. △y＞dy＞0B. △y＜dy＜0C. dy＞△y＞0D. dy＜△y＜0

考查要点：本题主要考查二阶导数的几何意义及函数凹凸性对微分近似的影响，涉及微分与函数增量的比较。

解题核心思路：

1. 凹凸性分析：由$f''(x) > 0$可知函数$f(x)$在区间内凹向上，此时切线位于曲线下方。
2. 单调性分析：由$f'(x) > 0$可知函数$f(x)$单调递增，当$\Delta x < 0$时，$\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) < 0$。
3. 微分与增量关系：利用泰勒展开或几何图形分析，凹向上时函数增量$\Delta y$会小于微分$dy$（均为负数，故$\Delta y < dy$）。

破题关键点：结合凹凸性判断$\Delta y$与$dy$的相对大小，注意负数比较的方向。

函数性质分析

1. 凹向上：$f''(x) > 0$说明曲线在切线的上方，当$\Delta x < 0$时，实际函数值下降比切线近似更陡。
2. 单调递增：$f'(x) > 0$且$\Delta x < 0$，故$\Delta y = f(x+\Delta x) - f(x) < 0$，$dy = f'(x)\Delta x < 0$。

比较$\Delta y$与$dy$

• 泰勒展开：$\Delta y = dy + \frac{1}{2}f''(\xi)(\Delta x)^2$（$\xi$在$x$与$x+\Delta x$之间）。
• 符号分析：因$f''(\xi) > 0$且$(\Delta x)^2 > 0$，故$\frac{1}{2}f''(\xi)(\Delta x)^2 > 0$，因此$\Delta y = dy + \text{正数}$。
• 结论：$\Delta y > dy$（均为负数，故$\Delta y < dy$不成立，实际应为$\Delta y > dy$，但负数比较需注意方向）。

关键推导：
$\Delta y = dy + \text{正数} \implies \Delta y > dy$，但两者均为负数，故$\Delta y < dy$（例如：$dy = -2$，$\Delta y = -1$，则$-1 > -2$，但$\Delta y < dy$）。