题目

int (cos x-sin x),(rm dx)=(   )A. -sinx+cosx+CB. sinx-cosx+CC. -sinx-cosx+CD. sinx+cosx+C

$\int {\cos x-\sin x}\,{\rm dx}$=(   )

A. -sinx+cosx+C

B. sinx-cosx+C

C. -sinx-cosx+C

D. sinx+cosx+C

题目解答

答案

D. sinx+cosx+C

解析

本题考查不定积分的基本计算，涉及三角函数的积分公式。解题核心在于分别对$\cos x$和$-\sin x$进行积分，再合并结果。需特别注意符号的处理，尤其是积分$\sin x$时的负号。

  1. 拆分积分
    将被积函数拆分为两个部分：
    $\int (\cos x - \sin x) \, dx = \int \cos x \, dx - \int \sin x \, dx$

  2. 逐项积分

    • 第一项：$\int \cos x \, dx = \sin x + C_1$
    • 第二项：$\int \sin x \, dx = -\cos x + C_2$，因此 $-\int \sin x \, dx = -(-\cos x) + C_2 = \cos x + C_2$

  3. 合并结果
    将两部分结果相加，并合并常数项：
    $\sin x + \cos x + C$