题目

(多选题,2分)下列结论正确的有()。 A. int_(0)^1 xdx=lim_(ntoinfty)sum_(i=1)^n(i)/(n)cdot(1)/(n)=(1)/(2) B. 如果f(x)在区间[-a,a]上连续，则int_(-a)^af(x)dx=0。 C. 如果f(x)在区间[-a,b]上连续，且f(x)≥0，则int_(a)^bf(x)dx≥0。 D. 如果f(x)在区间[a,b]上连续，则当a≠b时，int_(a)^bf(x)dx=-int_(b)^af(x)

(多选题,2分)下列结论正确的有()。
A. $\int_{0}^{1} xdx=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\frac{i}{n}\cdot\frac{1}{n}=\frac{1}{2}$
B. 如果f(x)在区间[-a,a]上连续，则$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
C. 如果f(x)在区间[-a,b]上连续，且f(x)≥0，则$\int_{a}^{b}f(x)dx≥0$。
D. 如果f(x)在区间[a,b]上连续，则当a≠b时，$\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)$

题目解答

答案

**答案：A, D** **解析：** - **选项A：** 定积分 $\int_{0}^{1} x \, dx$ 可用黎曼和表示： \[ \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{2} \] 计算结果与直接积分一致，正确。 - **选项B：** 仅当 $f(x)$ 为奇函数时，$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$，错误。 - **选项C：** 需满足 $a \le b$，否则积分可能为负，错误。 - **选项D：** 积分性质：$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$，正确。 **答案：A, D**

解析

本题考查定积分的基本性质与计算，涉及以下核心知识点：

  1. 定积分的定义与黎曼和（选项A）；
  2. 奇偶函数在对称区间上的积分性质（选项B）；
  3. 积分结果的符号判断（选项C）；
  4. 积分上下限交换的符号变化（选项D）。

关键思路：

  • 选项A需验证黎曼和是否等于定积分结果；
  • 选项B需判断是否隐含奇函数条件；
  • 选项C需注意积分区间是否合理；
  • 选项D直接应用积分上下限交换性质。

选项A

定积分与黎曼和的关系
定积分 $\int_{0}^{1} x \, dx$ 的值可通过直接计算得 $\frac{1}{2}$。
题目中给出的黎曼和形式为 $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n}$，计算如下：
$\sum_{i=1}^{n} \frac{i}{n} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n} \xrightarrow{n \to \infty} \frac{1}{2}.$
结论：选项A正确。

选项B

奇偶函数的积分性质
若 $f(x)$ 是奇函数，则 $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$。但题目未说明 $f(x)$ 是奇函数，仅给出连续性。
反例：若 $f(x) = x^2$（偶函数），则 $\int_{-a}^{a} x^2 \, dx = \frac{2a^3}{3} \neq 0$。
结论：选项B错误。

选项C

积分结果的符号
若 $a \leq b$，且 $f(x) \geq 0$，则 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx \geq 0$。但题目中积分区间为 $[a, b]$，未明确 $a \leq b$。
反例：若 $a > b$，则 $\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx \leq 0$。
结论：选项C错误。

选项D

积分上下限交换性质
根据积分性质，$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = -\int_{b}^{a} f(x) \, dx$。
结论：选项D正确。