题目
(int )_(0)^2dfrac (dx)({(1-x))^2};
;
题目解答
答案
这是无界函数的反常积分, x=1是被积函数的瑕点. 因为
,
而 
,
所以反常积分发散.
解析
步骤 1：识别瑕点
函数$f(x)=\dfrac {1}{{(1-x)}^{2}}$在$x=1$处无定义，因此$x=1$是瑕点。
步骤 2：拆分积分区间
由于瑕点$x=1$位于积分区间$[0,2]$内，将积分区间拆分为$[0,1]$和$[1,2]$，并分别计算这两个区间的积分。
步骤 3：计算积分
计算${\int }_{0}^{1}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$和${\int }_{1}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$，并判断是否收敛。
${\int }_{0}^{1}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}=\lim _{t\rightarrow {1}^{-}}{\int }_{0}^{t}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}=\lim _{t\rightarrow {1}^{-}}\left[-\dfrac {1}{1-x}\right]_{0}^{t}=\lim _{t\rightarrow {1}^{-}}\left(-\dfrac {1}{1-t}+1\right)=+\infty$，
${\int }_{1}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}=\lim _{t\rightarrow {1}^{+}}{\int }_{t}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}=\lim _{t\rightarrow {1}^{+}}\left[-\dfrac {1}{1-x}\right]_{t}^{2}=\lim _{t\rightarrow {1}^{+}}\left(-\dfrac {1}{1-2}+\dfrac {1}{1-t}\right)=+\infty$。
步骤 4：判断积分的收敛性
由于${\int }_{0}^{1}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$和${\int }_{1}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$都发散，因此${\int }_{0}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$发散。
函数$f(x)=\dfrac {1}{{(1-x)}^{2}}$在$x=1$处无定义，因此$x=1$是瑕点。
步骤 2：拆分积分区间
由于瑕点$x=1$位于积分区间$[0,2]$内，将积分区间拆分为$[0,1]$和$[1,2]$，并分别计算这两个区间的积分。
步骤 3：计算积分
计算${\int }_{0}^{1}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$和${\int }_{1}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$，并判断是否收敛。
${\int }_{0}^{1}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}=\lim _{t\rightarrow {1}^{-}}{\int }_{0}^{t}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}=\lim _{t\rightarrow {1}^{-}}\left[-\dfrac {1}{1-x}\right]_{0}^{t}=\lim _{t\rightarrow {1}^{-}}\left(-\dfrac {1}{1-t}+1\right)=+\infty$，
${\int }_{1}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}=\lim _{t\rightarrow {1}^{+}}{\int }_{t}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}=\lim _{t\rightarrow {1}^{+}}\left[-\dfrac {1}{1-x}\right]_{t}^{2}=\lim _{t\rightarrow {1}^{+}}\left(-\dfrac {1}{1-2}+\dfrac {1}{1-t}\right)=+\infty$。
步骤 4：判断积分的收敛性
由于${\int }_{0}^{1}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$和${\int }_{1}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$都发散，因此${\int }_{0}^{2}\dfrac {dx}{{(1-x)}^{2}}$发散。